Ermittlung der Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis

15.05.2011, 21:28	Hmmmmmsup	Auf diesen Beitrag antworten »
Ermittlung der Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis Hi Also ich habe hier eine Aufgabe die mir einige Schwierigkeiten bereitet: In der Weihnachtszeit ist es in vielen Klassen und Kursen üblich zu wichteln, d.h. es wird ausgelost, wer welchem anderen Mitglied der Gruppe ein kleines Geschenk machen soll. Dabei geschieht es, dass jemand seinen eigenen Namen zugelost bekommt. Tritt dieser Fall häufig ein? Die Frage ist ein bisschen geändert, ich gehe von 30 Schülern aus. Bei dieser Aufgabe soll jetzt die Wahrscheinlichkeit über das Gegenereignis berechnet werden... Aus einer Aufgabe aus dem Unterricht, die ähnlich war habe ich eben diesen Ansatz: $\begin{eqnarray} P(E) = 1 - P(\overline{E}) \end{eqnarray}$ Also die Frage, die sich mir stellt, lautet also: Was ist $\begin{eqnarray} P(\overline{E}) \end{eqnarray}$ ? Und da komm ich eben auch nicht weiter. Bei der ersten Aufgabe war es so, das man halt eine Kaugummipackung hat, wo jeweils ein Bild beigefügt ist. Insgesamt gibt es 15 Bilder. Jetzt musste man eben herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist bei 5 Packungen ein Bild doppelt zu haben. Bei der Ermittlung mit dem Gegenereignis erfolgte dann halt: $\begin{eqnarray} P(E) = 1 - P(\overline{E}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\overline{E}) = \frac{15\cdot 14\cdot 13\cdot 12\cdot11}{15^5} \end{eqnarray}$ also um die 53% Jetzt habe ich Probleme das auf die andere Aufgabe anzuwenden. Wäre klasse wenn mir das jemand helfen könnte.
15.05.2011, 22:50	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Gegenereignis von "Mindestens einer zieht sich selbst" lautet "Niemand zieht sich selbst" oder (gleichbedeutend) "Jeder zieht jemand anderen". Das Problem ist, dass die günstigen Möglichkeiten für dieses Ereignis garnicht so einfach berechnet sind: Der erste hat 29 Möglichkeiten sich selbst nicht zu ziehen. Der zweite hat 28 Möglichkeiten, wenn er nicht im ersten Zug gezogen wurde (passiert in 28 von 29 Fällen). Er hat 29 Möglichkeiten, wenn er im ersten Zug gezogen wurde (passiert in einem von 29 Fällen). Der dritte hat 27 Möglichkeiten, wenn er im ersten und zweiten Zug nicht gezogen wurde. Er hat 28 Möglichkeiten, wenn er gezogen wurde. Wenn im ersten Zug der zweite gezogen wurde, kann der dritte nur im zweiten, nicht aber im ersten Zug gezogen worden sein. Das stinkt nach Siebformel. Das ist zwar auch nicht besser hergeleitet, aber was du suchst sind die fixpunktfreien Permutationen. Nehmen wir an zu Beginn hat jeder Schüler einen Zettel mit seinem Namen in der Hand. Nun werden die Zettel untereinander getauscht (permutiert). Eine fixpunktfreie Permutation liegt vor, wenn kein Zettel am ursprünglichen Platz ist.

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