Dichtefunktion bestimmen

16.05.2011, 11:45	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichtefunktion bestimmen Meine Frage: Eine reelle Zufallsvariable X auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray}$ habe die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(b)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} b<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(b)=b/2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq b<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(b)=(1/2)+(b-1)/4 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 1\leq b<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(b)=(3/4)+(1/4)(e^{b-2}-1)/(e-1) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 2\leq b<3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(b)=1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 3\leq b \end{eqnarray}$ F ist stetig und bis auf endlich viele Punkte differenzierbar. Zeigen Sie, dass X damit eine Dichtefunktion hat und bestimmen Sie diese Dichtefunktion. Mein Problem ist, dass ich nicht sicher weiß, wie ich aus einer gegebenen Verteilungsfunktion eine Dichtefunktion bestimmen kann (und wie ich zeigen kann, dass es überhaupt eine solche gibt). Meine Ideen: Zunächstmal muss ich mich entschuldigen für diese blöde Bruchschreibweise, aber so steht das auf dem Zettel und deswegen habe ich es hier auch so extra aufgeschrieben. Mein einziger Ansatz wäre nun: $\begin{eqnarray} F_X (b)=P(X\leq b)=\int_{-\infty}^b p(x) dx= \hdots \end{eqnarray}$ , also zum Beispiel für $\begin{eqnarray} 0\leq b<1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F_X(b)=\int_0^1 p(x) dx=b/2 \end{eqnarray}$ . Man muss doch dann im Grunde nur Differenzieren? Ich habe jedenfalls folgende Dichtefunktion heraus: $\begin{eqnarray} p(b)=0, b<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(b)=0.5, 0\leq b<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(b)=0.25, 1\leq b<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(b)=\frac{e^{b-2}}{4\cdot (e-1)}, 2\leq b<3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(b)=0, 3\leq b \end{eqnarray}$ Nun verstehe ich den Rest der Aufgabe ("Zeigen Sie, dass X damit eine Dichtefunktion hat...") so, dass man wohl nachweisen soll, dass dies auch tatsächlich eine Dichtefunktion ist. Korrekt verstanden? Naja, jedenfalls ist das Integral $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} p(b) db=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p(b)\geq 0 \forall b \end{eqnarray}$ . Das wäre meine Idee zu dieser Aufgabe. Bitte gebt mir ein Feedback. DANKE! :-)

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