wesentliches Supremum/ Infimum

16.05.2011, 14:21	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
wesentliches Supremum/ Infimum Meine Frage: Hallo, noch eine Stochastik-Aufgabe! Die reelle Zufallsvariable X auf $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray}$ habe die Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} F(c)=1/(5-c), c<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(c)=(c+1)/3, 0\leq c<2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} F(c)=1, c\geq 2 \end{eqnarray}$ (1) Man definiert ess sup X:= $\begin{eqnarray} \left\{-\infty \leq c \leq \infty : P(X>c)=0\right\} \end{eqnarray}$ und entsprechend ess inf X:= $\begin{eqnarray} \left\{-\infty \leq c \leq \infty : P(X<c)=0\right\} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie ess sup X und ess inf X. (2) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} P(X=v) \end{eqnarray}$ für v=0 und v=1. (3) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray} P(-1<X<0), P(-1\leq X<0), P(-1<X\leq 0), P(-1\leq X\leq 0) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Zunächst mal zu (2): Hier müsste ganz einfach gelten: $\begin{eqnarray} P(X=1)=0=P(X=0) \end{eqnarray}$ , da Punktwahrscheinlichkeiten Null sind. Korrekt? Dann zu (3): Hier komme ich zu Folgendem: $\begin{eqnarray} P(-1<X<0)=P(-1\leq X \leq 0)=P(-1\leq X<0)=P(-1<X\leq 0)=F(0)-F(-1)=0 \end{eqnarray}$ Da es ja jeweils egal ist, ob die Punkte zum Intervall dazugehören oder nicht. Korrekt? Jetzt zu (1): Das finde ich am schwersten. ess sup X= $\begin{eqnarray} \inf \left\{-\infty\leq c\leq \infty : P(X>c)=0\right\} \end{eqnarray}$ Ist das nicht identisch mit $\begin{eqnarray} =\inf \left\{-\infty\leq c\leq \infty : 1-P(X\leq c)=0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\inf \left\{-\infty\leq c\leq \infty : 1-F(c)=0\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\inf \left\{-\infty\leq c\leq \infty : F(c)=1 \right\} \end{eqnarray}$ ? Was ist da jetzt eigentlich gesucht: Die größte untere Schranke für ein c, sodass F(x)=1? Wäre dann ess sup X=2?
17.05.2011, 20:48	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wesentliches Supremum/ Infimum Ich habe oben Blödsinn aufgeschrieben. Die korrekten Definition des wesentlichen Supremums bzw. wesentlichen Infimums sind: I. ess sup X:= $\begin{eqnarray} \inf\left\{-\infty\leq c\leq \infty : P(X>c)=0\right\} \end{eqnarray}$ II. ess inf X:= $\begin{eqnarray} \sup\left\{-\infty\leq c\leq \infty : P(X<c)=0\right\} \end{eqnarray}$ Gesucht ist also bei I. das kleinste c, sodass die Wahrscheinlichkeit für X>c gleich Null ist. II. das größte c, sodass die Wahrscheinlichkeit für X<c gleich Null ist. Oder? Wenn ja: Wie bestimme ich das c jeweils? Meine Idee: $\begin{eqnarray} P(X>c)=1-P(X\leq c)=1-F(c)=0 \end{eqnarray}$ Das F(c) muss also 1 sein. Das ist es nur für bestimmte c-Werte. Und die muss ich jetzt bestimmen und danndavon den kleinsten Wert raussuchen? Aber hilft einem das nun weiter?
17.05.2011, 22:49	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wesentliches Supremum/ Infimum Also ich bleibe jetzt dabei, dass ess sup X=2 Bei ess inf X weiß ich nicht, denn m.E. gibt es keine c für die P(X<c)=0 und dann kann es auch kein supremum geben...
22.08.2011, 14:31	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: wesentliches Supremum/ Infimum Bin wieder auf diese Aufgabe gestoßen. Richtig ist hier: $\begin{eqnarray} \operatorname{ess}\sup X=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \operatorname{ess}\inf X=-\infty \end{eqnarray}$ Was nun den Rest der Aufgabe betrifft, so lag ich anscheinend falsch. Die Argumentation, daß Punktwahrscheinlichkeiten bei stetigen Verteilungsfunktionen immer Null sind, scheint hier falsch zu sein. In meiner Korrektur steht: "F ist nicht stetig." Ist die Funktion F aber nicht stetig, bis auf endlich viele Punkte (oder macht das keinen Unterschied)? Was ist denn dann $\begin{eqnarray} P(X=0) \end{eqnarray}$ ? Und was $\begin{eqnarray} P(X=1) \end{eqnarray}$ ? Ebenso frage ich mich, wie man beispielsweise $\begin{eqnarray} P(-1<X<0) \end{eqnarray}$ berechnet.
22.08.2011, 15:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht: $\begin{eqnarray} P(X=0)=1-[P(X<0)+P(X>0)]=1-[P(X<0)+(1-P(X\leq 0)]=1-\frac{2}{3}-P(X<0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3}-\sum_{c<0}F(c) \end{eqnarray}$ Stimmt das und kann man das irgendwie noch genauer ausdrücken? Ebenso käme ich dann auf: $\begin{eqnarray} P(X=1)=\frac{2}{3}-\sum_{c<1}F(c) \end{eqnarray}$ Irgendwie scheint mir das nicht richtig zu sein, ich habe aber keine andere Idee.
22.08.2011, 15:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wäre mir eine riesen Hilfe, wenn jemand sich meine letzten beiden Beiträge ansehen könnte; irgendwie verwirrt mich das und bald ist Klausur...
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22.08.2011, 19:06	Luis77	Auf diesen Beitrag antworten »
naja, dennis, die grund idee ist ja gar nicht mal schlecht nur so, wie du es rechnest, würdest du viel zu viel abziehen, da du bestimmte wahrscheinlichkeiten ja zich mal einbeziehen würdest! statt die ganzen F(c) aufzusummieren nimm doch den den wert von F(c) wenn du von links gegen 0 bzw. gegen 1 streben lässt. das heißt rechne $\begin{eqnarray} P(X=0)=P(X\leq 0)-P(X<0)=F(0)-\lim_{t\uparrow 0}F(t) \end{eqnarray}$ dann stimmts analog für P(X=1) und die andern rechnungen auch

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