Abgeschlossenheit/Offenheit zeigen bzw. widerlegen

16.05.2011, 14:46

Ravenlord

Abgeschlossenheit/Offenheit zeigen bzw. widerlegen

Hi,

folgende Aufgabe über Abgeschlossenheit/Offenheit bereitet mir irgendwie Probleme:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x_1,x_2,x_3) = x_1^2 + x_2^2 - x_3^7. \end{eqnarray*}$
Überprüfen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} M := \lbrace (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 | 0 < f(x_1,x_2,x_3) \leq 3 \rbrace \end{eqnarray*}$ auf Offenheit bzw. Abgeschlossenheit. Ist $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ kompakt?

Meine Probleme rühren daher, dass ich einfach keine Idee habe, wie die Menge M aussieht. Ich vermute allerdings, dass M weder abgeschlossen, noch offen ist. Ob der Abschluss von M kompakt ist, weiß ich noch nicht.

Wäre sehr nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet. smile

16.05.2011, 14:53

René Gruber

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Zitat:

Original von Ravenlord
Ich vermute allerdings, dass M weder abgeschlossen, noch offen ist.

Dürfte richtig sein. Ergründe mal, warum du das vermutest, dann kommt dir vielleicht auch eine Idee des Nachweises.

Zitat:

Original von Ravenlord
Ob der Abschluss von M kompakt ist, weiß ich noch nicht.

Kompaktheit erfordert im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ insbesondere auch Beschränktheit. Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ beschränkt?

16.05.2011, 15:08

Ravenlord

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Danke für Deine Antwort. smile

Ich vermute das, weil $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ einersets echt größer sein muss als Null, aber beliebig nahe heran kommen kann, jedoch andererseits $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ erreichen.

Vielleicht könnte man zeigen, dass am linken Ende (0,3] immer eine Epsilonkugel existiert, sodass die Funktionswerte immer noch in M liegen und dass es am anderen Ende eben nicht der Fall ist. Ein wirklicher Ansatz mit dem ich arbeiten kann fehlt mir trotzdem.

Zur Kompaktheit bzw. Beschränktheit mach ich mir noch Gedanken. smile

16.05.2011, 15:20

René Gruber

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Such dir einen Punkt am "rechten" Rand, d.h. einen mit $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=3 \end{eqnarray*}$ , der gehört zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Für den kannst du zeigen, dass es aber in jeder Umgebung dieses Punktes einen Punkt außerhalb von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gibt - damit kann $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht offen sein.

Analog kannst du einen Punkt am "linken" Rand mit $\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3)=0 \end{eqnarray*}$ nehmen, der gehört nicht zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Zu dem kannst du aber eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_1^{(n)},x_2^{(n)},x_3^{(n)}) \to (x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ angeben, die in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt - also ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht folgenabgeschlossen, was im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ gleichbedeutend mit nicht abgeschlossen ist.

P.S.: Wenn du dir die Menge vorstellen willst: Für festes $\begin{eqnarray*} x_3>0 \end{eqnarray*}$ ist der Schnitt durch $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ein Kreisring mit dem inneren Radius $\begin{eqnarray*} r_i=\sqrt{x_3^7} \end{eqnarray*}$ und dem äußeren Radius $\begin{eqnarray*} r_a=\sqrt{x_3^7+3} \end{eqnarray*}$ , der innere Rand gehört nicht zu $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , der äußere dagegen schon. Für $\begin{eqnarray*} x_3\to \infty \end{eqnarray*}$ wachsen nun diese Radien unbeschränkt, während gleichzeitig $\begin{eqnarray*} r_a-r_i\to 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

16.05.2011, 16:44

Ravenlord

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Danke für deine Antwort, hat mir sehr weitergeholfen.

Zu zeigen: M nicht abgeschlossen.

Sei $\begin{eqnarray*} (x_{1,1}, x_{2,1}, x_{3,1}) = (0,0,0) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(0,0,0) = 0. \end{eqnarray*}$

Wähle nun die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n}) \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ .
Diese Folge ist in M, denn:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n}) = \frac{2}{n²} - \frac{1}{n^7} > 0 \end{eqnarray*}$ (Hier weiß ich nicht, ob man das so schreiben kann.)

Aber: $\begin{eqnarray*} lim (\frac{2}{n²} - \frac{1}{n^7}) = 0 \end{eqnarray*}$ . Da die Folge gegen 0 konvergiert, ist 0 ein Häufungspunkt von M, der nicht in M enthalten ist. Das bedeutet, dass M nicht abgeschlossen ist.

Zu zeigen: M nicht offen.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_{1,2}, x_{2,2}, x_{3,2}) = 3 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (3) = \lbrace (x_1, x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 | || \underbrace{ f(x_1, x_2,x_3) - 3}_{\in \mathbb{R} \Rightarrow \text{Norm bel.}} ||< \epsilon \rbrace \end{eqnarray*}$

Ich wähle für meine Überlegungen nun also die euklidische Norm.

$\begin{eqnarray*} || f(x_1, x_2,x_3) - 3 || = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 - x_3^7 - 3} < \epsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - x_3^7 < \epsilon^2 + 3 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gewählt wurde, folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} U_\epsilon (3) \end{eqnarray*}$ nicht in M enthalten sein kann. Damit ist M nicht offen.

Nun zur Überprüfung der Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} \overline{M} \end{eqnarray*}$ .

Wäre M beschränkt, so müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} \exists r > 0: M \subset \lbrace (x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 | ||\underbrace{(x_1,x_2,x_3)}_{\in \mathbb{R}^3 \Rightarrow \text{Norm bel.}}||<r \rbrace \end{eqnarray*}$

Ich wähle mir die euklidische Norm.

Das bedeutet folgende Ungleichungen müssten erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow & \text{(I)} & 0 \leq x_1^2 + x_2^2 - x_3^7 \leq 3 \\<br /> \wedge & \text{(II)} & 0 \leq x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < r^2 \end{eqnarray*}$

Aus (II) - (I) ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x_3^2 + x_3^7 \leq r^2 - 3 \end{eqnarray*}$

Was ich jedoch daraus folgern kann, weiß ich noch nicht... habe noch ein paar Probleme mit dem Beschränktheitsbegriff im mehrdimensionalen Raum.
Ich denke allerdings, dass M deswegen nicht beschränkt ist - zu jedem r > 0 kann man ein reelles $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ angeben, sodass $\begin{eqnarray*} x_3^2 + x_3^7 \end{eqnarray*}$ beliebig nahe an r² - 3 heran kommt.

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