Zwischenwertsatzaufgabe "Zug" |
| 16.05.2011, 15:39 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zwischenwertsatzaufgabe "Zug" Ein Zug fährt in 10 Stunden genau 800km, also fährt er im Durchschnitt 80 km/h. Er fährt jedoch unterschiedlich schnell auf der Strecke und hält auch öfters mal an. Jetzt sollen wir rausfinden, ob es in diesen 10 Stunden genau eine Stunde gibt, in der der Zug genau 80km fährt, also nicht unbedingt 80 km/h aber genau 80km in einer Stunde zurücklegt, nicht mehr und nicht weniger. Das ganze soll man sicherlich mit dem ZWS lösen. Jetzt habe ich mir überlegt, dass man darüber eigentlich keine Aussage treffen kann, da es ja sein könnte, dass er das genau in der ersten Stunde tut, also in der ersten Stunde genau 80km zurücklegt und danach das ist ja erstmal egal. Es könnte ja aber auch sein, dass er (rein theoretisch) in den ersten vier Stunden genau 800km schafft, und dann noch 4 Stunden rumsteht.... Irgendwie komm ich nicht darauf, wie man das ganze mathematisch angehen kann und eine eindeutige Lösung findet.... Habe auch schonmal probiert einen Graphen dazu zu zeichnen, doch das ist mir nicht so ganz gelungen... Hoffe jemand kann mir bei dieser komischen Aufgabe helfen... 
LG lilithilli 
|
||||
| 16.05.2011, 15:59 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
na ja ... wenn er in den ersten vier Stunden (fast) konstant 160 km fährt und dann rund vier Stunden herum steht, dann betrachtest du eben die Zeit von der 3,5ten bis zur 4,5ten Stunde. In dieser Stunde hat er dann genau 80 km zurückgelegt ...
Der Zug fährt doch mit einer Geschwindigkeit v(t) mit 0 <= t <= 10 Sei a ein beliebiger Zeitpunkt, dann ist doch die in der nächsten Stunde zurückgelegte Strecke: für 0 <= a <= 9 Na, und die Funktion schaust du dir halt einmal an ... Ist sie stetig ...? Kann es sein das gilt F(a) < 80 für alle a ... ? usw ... |
||||
| 16.05.2011, 16:26 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt 
hm dann muss man sich wohl überlegen wie man am besten eine hilfsfunktion bastelt, mit deren hilfe man dann den ZWS anwenden kann. müsste irgendwie eine sein, in die man auf jeden fall den wert für 0, also 0 Stunden einsetzt und den Wert für 10 Stunden... also vllt: g(x)=f(x)-80... dann wäre ja g(0)=f(0)-80 =-80 und g(10)=f(10)-80=720 somit muss es ein g(x') geben mit g(x')=0 also g(x')=f(x')-80=0 => f(x')=80... hm aber das kann nicht stimmen, oder? das bedeutet ja eigentlich nur, dass es eine Stelle x' gibt wo der Zug 80km gefahren ist.... kann mir jmd nen tipp geben, wie ich die hilfsfunktion wählen muss. wie kann ich die zeitspanne von einer stunde da unterbringen? LG Lilithilli
|
||||
| 16.05.2011, 16:55 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab dir doch schon eine Funktion genannt, die man dafür verwenden kann. Das ist die Funktion S(a) ... Schau dir doch halt man die Eigenschaften von der Funktion an ... ist sie stetig? ... gibt es Werte die kleiner als 80 sind? ... gibt es Werte die größer als 80 sind ...? |
||||
| 16.05.2011, 17:09 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh man sorry, hatte den beitrag gar nicht ganz gesehn, nur den ersten teil, dass er eben in der Zeit von der 3,5ten bis zur 4,5ten Stunde genau 80 km zurückgelegt. hatte dann wohl nicht runtergescrollt und den rest nicht gesehn^^ ich werde dann mal schaun was sich mit S(a) anfangen lässt. ne ähnliche idee hatte ich auch eben, mit der Funktion: g(x)=f(x+1)-f(x)-80 lg lilithilli
|
||||
| 16.05.2011, 17:34 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, also mein Problem an der Funktion S(a) ist, dass ich mir nichts unter der Funktion v(t) direkt vorstellen kann. Ich weiß doch gar nichts konkretes über diese Funktion, oder doch? Ich weiß doch nicht was z.B. v(3) ist oder was v(5) ist. Wie kann ich denn dann aussagen über S(a) machen? bei meinem Ansatz hab ich ein ähnliches Problem, dass ich ja nicht weiß wie f(1) oder f(9) aussieht, also ob z.b. f(1) < 80 oder f(1)>80 ist... irgendwie fehlt meiner meinung nach eine info bei der aufgabenstellung oder in meinm kopf^^... LG lilithilli
|
||||
| Anzeige | ||||
|
|
||||
| 16.05.2011, 18:06 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Och, wir wissen schon was über die Funktion S(a) ... Na, ... können also alle S(a) < 80 sein? |
||||
| 16.05.2011, 19:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@lilithilli1210 An sich hast du insoweit Recht, dass man auf jegliche Geschwindigkeitsbetrachtungen und zugehörige Integrale hier ganz verzichten kann: Mit deiner Bezeichnung für den zurückgelegten Weg bis zum Zeitpunkt kann man auch BarneyGs schreiben, womit man auch auf das argumentativ notwendige kommt. |
||||
| 16.05.2011, 21:22 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne natürlich können nicht alle S(a)<80 sein, das ist mir klar, sonst käme man bei 10 Argumenten nie auf 800. Aber warum weiß man dann dass einer genau 80 ist. es könnten ja auch 5 größer 80 und 5 kleiner 80 sein.... ist a eigentlich aus N? oder ist a aus R? aus R wäre ja eigentlich logischer oder? aber kann man dann überhaupt so eine Summe laufen lassen? das von HAL9000 erscheint mir irgendwie ein bisschen einfacher, weil ich eben nicht die ungewisse Geschwindigkeit drin hab, trotzdem weiß ich nicht, wie ich darauf den ZWS anwenden soll, da ich ja nur Werte für f(10) und f(0) hab... es könnte ja auch hier wieder sein, dass es ein paar Werte gibt die größer 80 sind und ein paar die kleiner 80 sind.... Woher aber kann man folgern dass es einma genau den Wert 80 hat....? 
lg lilithilli
|
||||
| 16.05.2011, 21:42 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kommst du denn darauf, dass das für einen dieser 10 Werte gelten soll? Das hat keiner behauptet. 
Die eigentliche Argumentation mit dem ZWS schließt sich diesen vorbereitenden Betrachtungen doch erst an. Aber ich will BarneyG nicht vorgreifen, hab nur geantwortet, weil er momentan wohl offline ist.
|
||||
| 16.05.2011, 21:44 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja das sollen wir ja zeigen ^^ also, das der zug in irgendeinem zeitraum von einer stunde genau 80 km zurücklegt. lg lilithilli
|
||||
| 16.05.2011, 22:00 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na also, da sind wir doch schon ein Stück weiter. Mit welcher Methode auch immer man zu dieser Erkenntnis kommt.
Daraus folgt doch, dass mindestens für ein a0 gelten muss: S(a0) >= 80 Wenn die Gleichheit gilt, also S(a0) = 80, dann sind wir fertig. Das ist ja gerade die Behauptung! Wir untersuchen also den zweiten Fall, dass also gilt: S(a0) > 80. Tja ... und unter dieser Voraussetzung sollte man jetzt zeigen können, dass für mindestens ein a1 gilt: S(a1) < 80 Warum nur? Das solltest du mir jetzt erst mal erklären ...
|
||||
| 16.05.2011, 22:19 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, wenn S(a0) > 80, dann muss mind. ein S(a1) < 80 sein, wenn nämlich alle S(a) > 80 wären, käme man nicht auf eine Gesamtstrecke von 800. Wenn alle =80 wäre, dann wäre es auch immer noch mehr als 800. Also muss es ein S(a1) geben mit S(a1)<80.. Und dann folgt aus dem ZWS, dass es ein S(a') geben muss mit S(a')=80.... ist das wirklich so einfach so lösen? rein rechnerisch erscheint das mit logisch, nur anschaulich kann ich es mir noch immer nicht so ganz vorstellen.... =) naja das wird vielleicht nocht. Aber nochmal die Frage: ist a aus R? und kann man dann wirklich eine Summe laufen lassen von a=0 bis a=9 über S(a)? und wenn a nicht aus R wie kann es dann ein beliebiger Zeitpunkt innerhalb der 10 Std sein...., dann wären ja nur volle Stunden möglich.... Oder ist das eh unwichtig...?=) Fragen über Fragen^^ lg lilithilli
|
||||
| 16.05.2011, 22:26 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wir haben herausgefunden, dass es ein a0 und ein a1 geben muss mit S(a0) > 80 und S(a1) < 80 (abgesehen von dem trivialen Fall, dass alle S(a) = 80 sind) In unserer Überlegung haben wir zunächst nur die ganzzahligen Werte für a einfließen lassen, also a= 0, ..., 9 Nach dem Mittelwertsatz gibt es jetzt aus dem Intervall [0, 9] ein a mit der Eigenschaft S(a) = 80 Dieses a muss aber nicht unbedingt ganzzahlig sein. Erinnere dich mal an mein erstes Posting ... da hatten wir a= 3,5 herausbekommen. Allerdings ist die Aufgabe noch nicht ganz zu Ende ... denn an den MWS sind Voraussetzungen geknüpft. Die Funktion S(a) muss nämlich STETIG im Intervall [0, 9] sein. Warum ist das denn für S(a) der Fall ... ? |
||||
| 16.05.2011, 22:39 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja genau deswegen meinte ich ja das a aus R sein muss. S(a) ist ja zusammengesetzt aus den Funktionen f(x+1) und f(x), die jeweils die zurückgelegt Strecke zum Zeitpunkt x bzw. x+1 angeben. Die zurückgelegt Strecke, muss aber stetig sein, da es ja nicht sein kann, dass der Zug auf einmal einen "Sprung" macht, also sozusagen einen Teil der Strecke überspringt. Anders gesagt: für jedes noch so kleine epsilon(<0) findet sich ein delta größer null, so dass für alle x aus [0,9] gilt, dass wenn x weniger als delta von x0 entfernt ist, also zum Beispiel nur eine hundertstel Sekunde Zeit verstrichen ist, dann ist auch das Bild, also die zurückgelegt Strecke von x zu x0 weniger als epsilon groß/lang. Muss man das noch formaler machen? lg lilithilli
|
||||
| 17.05.2011, 07:53 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So kann man das begründen! Also, alles gelöst ...
|
||||
| 17.05.2011, 09:58 | lilithilli1210 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, vielen Dank für deine Hilfe!! Im Nachhinein betrachtet ist die Aufgabe eigentlich ja ziemlich einfach, wenn man erst mal drauf kommt
LG lilithilli
|
||||
|
|