Dreieck Durchstoßpunkt

16.05.2011, 15:46

AMD

Dreieck Durchstoßpunkt

Meine Frage:
Hey, hoffe der Bereich stimmt einigermaßen.

Folgende Situation: Ich habe ein Dreieck ABC und einen Punkt P im 3-Dimisonalen Raum gegeben.
Anhand von 2 Achsen (in meinem Fall x und z) überprüfe ich, ob der Punkt P im Dreieck liegt! Ich wähle bewusst nur 2 Achsen aus da eine 2D überprüfung für meinen Fall genügt (vermute ich :P).
Dies klappt schonmal gut! smile

Jetzt möchte ich jedoch noch wissen, falls dieser Punkt halt auf/in dem Dreieck liegt, welche Koordinaten hat der Punkt! Ich versuche das mal anhand einer Skizze von mir zu beschreiben! Das zu erklären ist etwas kompliziert...

Edit (mY+): Link zu externer Uploadseite wurde entfernt. Bitte in Hinkunft davon abzusehen!

Wie man sieht, liegt der Punkt P links (2D) im Dreieck! Rechts ist er durch die 3D darstellung aber noch entfernt! Jetzt bräuchte ich den kürzesten Weg zu der Ebene bzw. die Koordinaten, welcher der Punkt auf dem Dreieck hätte!

Hoffe das ist einigermaßen verständlich.

Meine Vermutung geht ja in den Bereich Abstand Punkt-Ebene aber ich wollte trotzdem erstmal hier nachfragen, welcher Weg der Beste ist! Sollte die Vermutung stimmen wäre eine kleine Erklärung trotzdem Hilfreich smile

Meine Ideen:
Lösung mit Abstand Punkt-Ebene!

17.05.2011, 08:14

Rmn

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RE: Dreiech Durchstoßpunkt
Ein Dreick bestimmt eine Ebene in der er liegt, was du machen muss, ist einfach dein Punkt(besser gesagt sein Ortsvektor) auf diese Ebene projezieren.
Sagen wir dein Punkt ist x=(x1,x2,x3) und die Dreieckpunkte sind a=(a1, a2, a3), b=(b1, b2, b3) und c=(c1, c2, c3).

Zuerst berechne zwei linearunabhängige Vektoren in der Ebene des Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} <br /> u_1=b-a<br /> u_2=c-a \end{eqnarray*}$

Orthonormalisiere sie mit z.B. Gram-Schmidt um auf zwei Orthogonale Vektoren zu kommen:
$\begin{eqnarray*} v_1=\frac{u_1}{|u_1|} \text{ und } v_2 = \frac{u_2-v_1<u_2,v_1>}{ |u_2-v_1<u_2,v_1>|} \end{eqnarray*}$
und bilde eine Matrix M daraus:
$\begin{eqnarray*} M=(v_1, v_2) \end{eqnarray*}$

Nun berechne die Projektionsmatrix
$\begin{eqnarray*} P=M^TM \end{eqnarray*}$

Damit kannst du nun dein Punkt, wie folgt projezieren
$\begin{eqnarray*} x'=P(x-a)+a \end{eqnarray*}$

Wenn du noch abstand von x zu dem Punkt x' auf dem Dreick brauchst, dann
$\begin{eqnarray*} d=|x-x'| \end{eqnarray*}$

17.05.2011, 12:56

mYthos

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Rmn: Bitte: projizieren
Und: Der Ortsvektor von P ist NICHT in diese Ebene zu projizieren, das ist eine unzutreffende Feststellung.
_____________

Man kann die Gleichung der Ebene in Normalvektorform bestimmen (in dieser sieht man bereits auch deren Normalvektor). Danach schneidet man diese Ebene mit jener Geraden, die durch den Punkt P geht und deren Richtungsvektor der Normalvektor der Ebene ist.

mY+

17.05.2011, 19:10

Rmn

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Zitat:

Original von mYthos
Rmn: Bitte: projizieren

Stimmt, da schlägt englischsprachige Literatur zu.

Zitat:

Original von mYthos
Und: Der Ortsvektor von P ist NICHT in diese Ebene zu projizieren, das ist eine unzutreffende Feststellung.

Von mit aus P' = P-A auf die in Ursprung parallel verschobene Ebene projizieren, was ich auch gemacht habe.

17.05.2011, 22:15

AMD

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