Exponentialansatz

16.05.2011, 18:26

aguacate

Exponentialansatz

Meine Frage:
Hallo zusammen,
meine Frage kann man fast schon aus dem Titel ablesen: Bei welchen DGL kann ich den Exponentialansatz anwenden?

Meine Ideen:
Ich weiß wie man das macht und ein paar DGL kenn ich auch, wo er funktioniert.

16.05.2011, 18:28

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja: eine Frage noch: wie wandele ich das dann in eine reelle Lösung um???

16.05.2011, 18:43

umbiwi

Auf diesen Beitrag antworten »

den exponentialansatz verwendest du für homogene lineare dgl's, d.h. wenn auf der rechten seite der gleichung keine funktion steht, sondern eine 0 und nur lineare terme enthalten sind (z.b. kein sin, cos, ², usw...). bzw. für die homogene (teil)lösung einer inhomogenen linearen dgl.

doch was genau meinst du mit exponentialansatz bzw. reell machen? so wie ich es kenne, ersetzt man die mit e^(lambda x x). da ist doch gar kein komplexer term dabei?!

16.05.2011, 18:47

umbiwi

Auf diesen Beitrag antworten »

und btw: zu diesem thema gibt es schon ellenlange forenthemen... vllt erst mal kurz suchen, evtl ist ja das richtige dabei!

16.05.2011, 19:45

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

erst mal danke, umbiwi!
Die Forensachen hab ich schon ein bisschen durchgekuckt, aber nix gefunden. Mit dem reellmachen mein ich zum Beispiel die Differentialgleichung des Schwingkreises ohne Widerstand in der Physik. Sie ist:
Q(t)/C + L*d^2Q(t)/dt^2 = 0;
wenn ich da jetzt einen Exponentialansatz mache, bekomme ich:
Q(t)=e^(lamda*t); wobei lambda gleich 1/wurzel(-L*C) ist.
Jetzt sind L und C aber nichtnegative physikalische Konstanten, und deswegen sollte da kein i drin vorkommen. Mit irgendeiner Methode kann man das jetzt reell machen, ich weiß aber nicht wie.
Bitte verzeih, dass ich PHYSIKER bin XD

16.05.2011, 21:25

Wellenfunktion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von umbiwi

doch was genau meinst du mit exponentialansatz bzw. reell machen? so wie ich es kenne, ersetzt man die mit e^(lambda x x). da ist doch gar kein komplexer term dabei?!

Dann überleg nochmal:

$\begin{eqnarray*} x'' + w^2x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 +w^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = \pm iw \end{eqnarray*}$

Damit sind Lösungen:

$\begin{eqnarray*} x_1(t) = e^{-iwt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2(t) = e^{iwt} \end{eqnarray*}$

Komplex, gell? Augenzwinkern

Wie erhält man nun reelle Lösungen? Jede Linearkombination der beiden linear unabhängigen Lösungen sind wieder Lösungen, also: $\begin{eqnarray*} A \cdot e^{-iwt} + B \cdot e^{iwt} \end{eqnarray*}$ . Wenn man nun den Zusammenhang zwischen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen kennt, ist es eigentlich ziemlich offensichtlich. Bilde die Differenz $\begin{eqnarray*} x_2 - x_1 \end{eqnarray*}$ und dividiere das Ergebnis durch $\begin{eqnarray*} 2i \end{eqnarray*}$ . Was kommt raus? Augenzwinkern

Wenn man das kapiert hat, findet man auch die 2. reelle, linear unabhängige Lösung.

16.05.2011, 21:39

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht bin ich blöd, aber warum ist die Linearkombination wieder eine Lösung?

16.05.2011, 23:32

Wellenfunktion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von aguacate
vielleicht bin ich blöd, aber warum ist die Linearkombination wieder eine Lösung?

Die Eigenschaft nennt sich Superpositionsprinzip und gilt i. A. für lineare, homogene DGLen.

18.05.2011, 21:27

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

man muss das also einfach akzeptieren, oder kann man es auch als sterblicher verstehen?

20.05.2011, 14:57

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

20.05.2011, 15:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von aguacate
vielleicht bin ich blöd, aber warum ist die Linearkombination wieder eine Lösung?

Wenn x_1 und x_2 Lösungen von $\begin{eqnarray*} x'' + w^2x = 0 \end{eqnarray*}$ sind, dann ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} x(t) := A \cdot x_1(t) + B \cdot x_2(t) \end{eqnarray*}$ auch eine Lösung.

Deswegen nennt man eben die DGL auch linear.

20.05.2011, 21:48

aguacate

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich: dumm wie Broooot Klo