Gruppenstruktur

10.12.2006, 15:56	Phoney	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenstruktur Hallo. Es geht um die Aufgaben: a) Prüfen Sie die folgende binäre Operation $\begin{eqnarray} \circ : \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz eines neutralen Elementes. $\begin{eqnarray} a \circ b = a + b + ab \end{eqnarray}$ (Auf der rechten Seite stehen die gewöhnliche Addition und Multiplikation in $\begin{eqnarray} \mathbb R . \end{eqnarray}$ ) b) Lösen Sie die Gleichung $\begin{eqnarray} 5 \circ x \circ 6 = 17 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ die in a) definierte Operation ist. Die Kriterien sind meines Erachtens: assoziativität, falls $\begin{eqnarray} a\circ (b \circ c) = (\circ a \circ b) \circ c \end{eqnarray}$ kommutativ, wenn $\begin{eqnarray} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ Existenz eines Neutralen Elements $\begin{eqnarray} e \circ a = a \circ e = a \end{eqnarray}$ Das muss dann auch für b gelten, oder? Nur wie mache ich das jetzt? Ich probiere es mal Kommutativ: $\begin{eqnarray} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a + b + ab = b + a + ba \end{eqnarray}$ Ja, ist dasselbe. Assoziativ: $\begin{eqnarray} a\circ (b \circ c) = (\circ a \circ b) \circ c \end{eqnarray}$ Was soll man denn mit dem c machen? Meine Gedanken: $\begin{eqnarray} a \circ b = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a + b + ab \end{eqnarray}$ Also muss das auch für $\begin{eqnarray} a \circ c \end{eqnarray}$ gelten, ich ersetze alle b mit c. $\begin{eqnarray} a \circ c \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} a + c + ac \end{eqnarray}$ (I) Selbes für $\begin{eqnarray} b\circ c \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} b + c + bc \end{eqnarray}$ (II) Jetzt müsste ich das allerdings einmal mit a verknüpfen und einmal mit b. Schreibe ich einfach nur ein b bei I und bei II ein a dazu? $\begin{eqnarray} ab + bc + abc \end{eqnarray}$ (I) $\begin{eqnarray} ab + ac + abc \end{eqnarray}$ (II) Ist also nicht assoziativ. Neutrales Element. $\begin{eqnarray} a \circ e = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b \circ e = b \end{eqnarray}$ Warum sollte das denn nicht gelten? ************ Und was wäre bei Aufgabe b zu tun? Ich glaube, Aufgabe a hat auch noch genug klärungsbedarf?... Viele Grüße von Phoney
10.12.2006, 16:05	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenstruktur Assoziativität: $\begin{eqnarray} (a\circ b) \circ c = (a+b+ab)\circ c = a+b+ab + c + (a+b+ab)c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\circ (b \circ c) = a + (b \circ c) + a(b\circ c) =a + b + c + bc + a(b+c+bc) \end{eqnarray}$ Sind obere und untere Zeile gleich? Gruß, therisen
11.12.2006, 18:19	Phoney	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo. JA, es sieht so aus, als wären sie gleich. Sie sind es, oder? Ich kann es normal "ausmultiplizieren", richtig? Und weiter: kommutativ, wenn $\begin{eqnarray} a \circ b = b \circ a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+b+ab = b+a+ba \end{eqnarray}$ Stimmt also. Existenz eines Neutralen Elements $\begin{eqnarray} e \circ a = a \circ e = a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \circ e = a+e+a e \end{eqnarray}$ Das stimmt, mit e=0 Stimmt das so? Viele Grüße, Phoney
11.12.2006, 18:22	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist das neutrale Element. Der Rest ist auch korrekt, Gruß MSS
11.12.2006, 18:52	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich a.) auf eine Gruppe prüfen will muss ich nich Das Inverse hinzunehmen und auf Abgeschlossenheit prüfen oder? Mit der Operation: $\begin{eqnarray} a \cdot b = a + b - a b \end{eqnarray*}$ Wie würde das dann aussehen?
11.12.2006, 18:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber es ist keine Gruppe, weil zu $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ kein Inverses existiert. $\begin{eqnarray} (\mathbb R\setminus\{-1\},\circ) \end{eqnarray}$ ist aber eine Gruppe. Die Abgeschlossenheit ergibt sich ja fast sofort. Gruß MSS
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11.12.2006, 18:56	RedSunset	Auf diesen Beitrag antworten »
und wie sieht es aus wenn statt dem + ein - gesetzt wird wie es in meiner Operation der Fall ist?
11.12.2006, 19:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann ist eben $\begin{eqnarray} (\mathbb R\setminus \{1\},\circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe. Aber wegen der Inversen kannst du ja dann auch in deinem Thread weiterfragen. Der Link war eigentlich nur als Hilfe für die Assoziativität, Kommutativität und Existenz des neutralen Elements gedacht. Gruß MSS

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