Zwei abgeschlossene Mengen, deren Abstand dist(A,B)=0

16.05.2011, 19:58

Pi-lover

Zwei abgeschlossene Mengen, deren Abstand dist(A,B)=0

Meine Frage:
gegeben: Metrischen Raum (M,d) und zwei Teilmengen A und B von M den Abstand definiert durch:

$\begin{eqnarray*} dist(A,B) := inf \{ d(x,y) | x \in A, y \in B \} \end{eqnarray*}$

Letztendlich soll ich untersuchen, ob für folgende Annahmen stets gilt, dass dist(A,B)>0 ist:

a) A und B sind offen,
b) A und B sind abgeschlossen
c) A ist abgeschlossen, B ist kompakt
d) A und B sind kompakt

Ich brauche für b ein Gegenbeispiel! Ich habe mir den Kopf darüber zerbrochen und brauche einen Hint oder direkt ein Beispiel!

Meine Ideen:
In einem früheren Thread hat jmd ein Gegenbeispiel gegeben, ich sehe aber nicht (und meine Komilitonen ebenfalls nicht), warum das ein Gegenbeispiel ist, denn die Mengen sind gar nicht abgeschlossen:

M = Q als Unterraum von R, versehen mit der euklidischen Metrik, und die Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \subset M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A = (-\infty,\sqrt{2}] \cap \mathbb{Q} \ , \ \ B = [\sqrt{2},\infty) \cap \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Es hilft mir riesig, wenn mir einer erklärt warum die Mengen abgeschlossen sein sollen!

Unsere Überlegung: $\begin{eqnarray*} A = (-\infty,\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen in Q ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ lässt sich in Q approximieren, wird aber nie erreicht) und damit auch nicht deren Schnitt mit Q!

Vielen Dank im Voraus

16.05.2011, 20:05

zweiundvierzig

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RE: Zwei abgeschlossene Mengen, deren Abstand dist(A,B)=0

Zitat:

Original von Pi-lover
Unsere Überlegung: $\begin{eqnarray*} A = (-\infty,\sqrt{2}] \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen in Q ( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ lässt sich in Q approximieren, wird aber nie erreicht) und damit auch nicht deren Schnitt mit Q!

Ach ja? Was bleibt denn nach dem Schnitt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ (und allen anderen irrationalen Punkten) noch übrig?

16.05.2011, 20:13

Pi-lover

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Naja aber, du bist ja im Raum Q und dann wäre dist(A,B) > 0 !

Sag bloß, das stimmt! Das glaube ich nicht. Im Internet finden sich mehrere Andeutungen dahingehend, dass Behauptung b) falsch ist, es also möglich ist dass dist(A,B) = 0 (A,B abgeschlossen)

16.05.2011, 20:27

zweiundvierzig

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Nur die Ruhe.

Können wir uns darauf einigen, dass $\begin{eqnarray*} A = (-\infty, \sqrt{2}] \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = [\sqrt{2}, \infty) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bezüglich der von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ induzierten Teilraumtopologie abgeschlossen sind? Die ist nämlich gerade so gemacht.

Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} \inf_{(x,y) \in A \times B} d(x,y) \end{eqnarray*}$ aus?

16.05.2011, 20:41

Pi-lover

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Können wir uns darauf einigen, dass $\begin{eqnarray*} A = (-\infty, \sqrt{2}] \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = [\sqrt{2}, \infty) \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bezüglich der von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ induzierten Teilraumtopologie abgeschlossen sind?

Ich habe versucht, das auf die Wikipedia-Seite zu übertragen, ich hatte Teilraumtopologien noch nicht aber ich geb mein bestes sie zu verstehen:

Heißt die "Formale Definition" dort für unseren Fall hier, dass A,B abgeschlossen sind oder erklärt mir das erst Punkt 3 der "Eigenschaften"?

Nun ja auf deine Frage unter der Annahme, dass A,B abgeschlossen, lassen sich natürlich Folgen finden, die gegen sqrt2 konvergieren und damit das inf der Abstände glech 0 ist --> dist(A,B) = 0

Mir geht es tatsuachlich darum, dass ich verstehe warum die abgeschlossen sind: Ganz naiv gesagt:

ich schneide eine in R abgeschlossene Menge (-infty, sqrt2] mit einer in Q abgeschlossenen Menge Q selbst und erhalte eine abgeschlossene Menge?
Muss ich dafür nicht in der gleichen Topologie sein, um das zu schließen?

Danke

16.05.2011, 20:50

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Pi-lover
ich schneide eine in R abgeschlossene Menge (-infty, sqrt2] mit einer in Q abgeschlossenen Menge Q selbst und erhalte eine abgeschlossene Menge?
Muss ich dafür nicht in der gleichen Topologie sein, um das zu schließen?

Das ist genau die Definition der Teilraumtopologie. Die offenen Mengen in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ bezüglich der Teilraumtopologie sind nach Definition alle Schnitte $\begin{eqnarray*} O \cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist. Analog läuft das mit den abgeschlossenen Mengen.

Zitat:

Original von Pi-lover
Nun ja auf deine Frage unter der Annahme, dass A,B abgeschlossen, lassen sich natürlich Folgen finden, die gegen sqrt2 konvergieren und damit das inf der Abstände glech 0 ist --> dist(A,B) = 0

Die Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind abgeschlossen, da gibt es nichts anzunehmen. Deine Idee mit den Folgen ist möglicherweise richtig, aber schön aufgeschrieben war das jetzt noch nicht. Augenzwinkern

Edit: $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ vergessen.

16.05.2011, 21:00

Pi-lover

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Tja wer lesen kann ist klar im Vorteil, ich hab eben blauäugig nach "abgeschlossen" die Wiki-Seite abgesucht!

Es klärt sich alles!

Vielen Dank für die Hilfe

16.05.2011, 21:06

zweiundvierzig

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Bitte sehr. Wink

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