Achsensymmetrische und punktsymmetrische Funktionen als Untervektorraum

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belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »
Achsensymmetrische und punktsymmetrische Funktionen als Untervektorraum
Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
Es sei
und


Zeige: G und U sind Untervektorräume von V und G + U = V

Meine Ideen:
Also zu zeigen das es Vektorräume sind dachte ich mir folgendes:
Für G:

Seine
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=f(-x)+g(-x)=(f+g)(-x)
(lamda f)(x)=lamda f(x)=lambda f(-x)=(lamda f)(-x)

und analoges für U.

Damit habe ich doch gezeigt das es Vektorräume sind oder?
Wie kann ich zeigen, dass es Untervektorräume von V sind und das die Summe gleich V ist?
Reicht es für die Summe zu sagen, dass mit G und U alle achsen-, und punktsymmetrischen Funktionen "abgedeckt" sind und mit der Summe dann alle stetigen Funktionen "abgedeckt" sind?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Die Unterraumkriterien hast Du richtig nachgeprüft.

Aber die weiteren Überlegungen sind nicht ganz richtig. Erstens sehe ich hier keine Einschränkungen auf stetige Funktionen. Zweitens musst Du für eine Abbildung schon eine Zerlegung der Form mit geradem und ungeradem angeben. Hierbei muss man die geschickt aus zusammenbasteln.

Edit: Eigentlich musst Du noch zeigen, dass die beiden Unterräume überhaupt nichtleer sind. Das kriegst Du übrigens mit einem einzigen Element hin. Augenzwinkern
belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »

Die 0 ist wohl das Element, dass beide Unterräume enthalten oder?

bei der Zerlegung bin ich noch etwas am grübeln, hast du einen tipp für mich?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von belehrbarer
Die 0 ist wohl das Element, dass beide Unterräume enthalten oder?


Ja. smile

Zitat:
Original von belehrbarer
bei der Zerlegung bin ich noch etwas am grübeln, hast du einen tipp für mich?

Wie kannst Du Dir denn in Abhängigkeit von eine y-achsensymmetrische Funktion basteln (erstmal ungeachtet der angestrebten Zerlegung von )?
belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »

etwa so simpel:



wohl kaum oder?
belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »

oder doch



sorry für den doppelpost
 
 
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind beides keine Definitionen...
belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »

dann weiß ich grad eben ehrlich gesagt nicht weiter...
belehrbarer Auf diesen Beitrag antworten »

So, jetzt ists mir klar, hab noch gegrübelt und das Internet durchforstet und bin zu dem Schluss gekommen:


wobei f1 der anteil der geraden und f2 der Anteil der ungeraden Funktionen ist wie du oben schon gesagt hast und f1 und f2 sehen so aus:



da f1 aus G und f2 aus U ist also V = G + U

Danke für deine Hilfe smile
rorikon Auf diesen Beitrag antworten »
Verallgemeinerung auf Abbildungen auf beliebigen Körpern
Erstmal sorry diesen Uraltthread nochmal zum Leben zu erwecken, aber ich habe dasselbe Problem, nur für Abbildungen auf einem beliebigen Körper. Die bisher gefundene Lösung ist hier unzureichend, da es weder eine "2" geben muss, noch muss diese, falls sie denn existiert, ein multiplikatives Inverses haben und selbst dann ist die angenehme Eigenschaft, dass
x/2 + x/2 = x
ja auch nicht immer gegeben. Die Frage ist nun, gibt es eine ähnliche Darstellung von f(x) als eine Summe einer punkt- und einer y-achsensymmetrischen Funktion, die mit den Eigenschaften eines allgemeinen Körpers auskommt?
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung auf Abbildungen auf beliebigen Körpern
Es geht also um mit einem beliebigen Körper ?
Wenn die Charakteristik des Körpers ungleich 2 ist, dann gibt es auch eine 2, die von Null verschieden ist und
folglich auch eine multiplikative Inverse besitzt. Und dann gilt auch x/2 + x/2 = x.
Im Fall Char(K)=2 ist doch ohnehin x=-x für jedes Element x des Körpers.
rorikon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verallgemeinerung auf Abbildungen auf beliebigen Körpern
Vielen Dank!
Meine diffusen Überlegungen bis jetzt liefen auch alle darauf hinaus, aber weil ich nicht in der Lage war, sie in eine klare Aussage zu fassen, war ich mir absolut nicht sicher, ob da was dran war.
So wie du es formuliert hast ist es völlig klar.
Ich lasse mich von allzu großer Allgemeinheit immer verwirren, ich bin mir dann nicht mehr sicher was noch gilt, und welche meiner logisch erscheinenden Gedankengänge eigentlich auf gewohnten Spezialfällen basieren.
Gott
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