Kombinatorik/ Verteilungsfunktion

16.05.2011, 23:49

Gast11022013

Kombinatorik/ Verteilungsfunktion

Meine Frage:
5 Manner und 5 Frauen werden entsprechend ihres Ergebnisses in einem Examen gereiht. Wir nehmen
an, dass keine zwei Kandidaten (Manner und Frauen) gleiche Punktzahlen erreicht haben, so dass
die Reihungen eindeutig sind. Wir nehmen ebenfalls an, dass alle 10! Reihungen gleichwahrscheinlich
sind. Es sei X die unter den Frauen hochste erreichte Reihung. X=1 heißt also zum Beispiel, dass eine Frau das beste Ergebnis erzielt hat.

(1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X=i),i=1,2,3,...,8,9,10.

(2) Bestimmen Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X, wenn es sich um eine Gruppe von n Personen, von denen $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ Frauen sind, handelt.

(3) Verwenden Sie die Lösung aus (2) als Beweis für die folgende kombinatorische Identität von Fermat für $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}=\sum_{j=k}^n \begin{pmatrix} j-1 \\ k-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:

zu (1):

Insgesamt gibt es 10! Möglichkeiten, die Frauen und Männer in einer Reihe anzuordnen.

Es interessieren aber jetzt nur folgende Reihungen:

1. An Stelle 1 ist eine Frau, die restlichen Positionen können irgendwie verteilt sein.

2. An erster Stelle steht ein Mann, an zweiter Stelle eine Frau, die restlichen Positionen sind egal.

3. An Stelle 1 und 2 stehen Männer, an Stelle 3 eine Frau, danach egal.
.
.
.
6. An Position 1-5 stehen Männer, an Stelle 6 eine Frau, danach nur Frauen [die Männer sind ja scjon alle "weg".]

7. unmöglich, dass erst an 7. Position die erste Frau steht.
8. unmöglich
9. unmöglich
10. unmöglich

Die W.-Funktion ist also schonmal 0 für i=7,...,10.

Für i=1,...,6 müsste man jetzt genau ausrechnen, was obige Beschreibungen bedeuten. Insbesodere müsste man zum Beispiel bei 3. beachten, dass man die beiden Männer an Position 1 und 2 auch "vertauschen" kann.

Sehe ich das so korrekt?

17.05.2011, 01:50

Zellerli

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Zitat:

Insbesodere müsste man zum Beispiel bei 3. beachten, dass man die beiden Männer an Position 1 und 2 auch "vertauschen" kann.

Nicht unbedingt! Berücksichtigen muss man es, aber das tut man schon beim "direkten" Weg.

Wenn du zum Beispiel $\begin{eqnarray*} P(X=3) \end{eqnarray*}$ ausrechnen willst, muss an Stelle 1 und 2 ein Mann stehen:
Stelle 1: 5 Möglichkeiten bei 10 Leuten.
Stelle 2: noch 4 Möglichkeiten bei noch 9 Leuten.
Stelle 3: 5 Möglichkeiten bei noch 8 Leuten.

Es sind also $\begin{eqnarray*} 5 \cdot 4=20 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten 2 Männer aus 5 auf zwei Stellen anzuordnen.
Anderer Weg: $\begin{eqnarray*} {5 \choose 2} \cdot 2! = 20 \end{eqnarray*}$ (2 aus den 5 ziehen und dann hat man noch 2! Möglichkeiten sie auf die zwei Plätze anzuordnen).

Damit sind alle Konstellationen berücksichtigt.

17.05.2011, 10:22

Gast11022013

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Ich bleibe mal bei dem Beispiel $\begin{eqnarray*} P(X=3) \end{eqnarray*}$ .

Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass an der 3. Stelle die erste Frau steht?

Position 1 und 2 sind Männer und diese 2 von 5 Männer anzuordnen, gibt es also 20 Möglichkeiten. Das ist mir ja oben schon sehr gut erklärt worden.

Aber wie rechnet man jetzt weiter?

Die dritte Stelle soll jetzt eine Frau einnehmen.
Ich habe 5 Möglichkeiten, eine Frau zu wählen (8 Personen sind noch übrig.).

Bin ich dann für Position 1-3 bei insgesamt $\begin{eqnarray*} 20\cdot 5 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten?

Jetzt gehts noch um die Positionen 4 bis 10. Oder muss ich die gar nicht mehr berücksichtigen?

Irgendwie ist mir die komplette Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(X=3) noch nicht klar. Könnte mir das jemand erklären, damit ich es dann für i=1,2,4,5,6
selbst hinbekomme?

17.05.2011, 13:42

Zellerli

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Das geht gemäß Pfadregel mit einem Produkt:

Also: $\begin{eqnarray*} P(\text{Pos 1 ist Mann}) \cdot P(\text{Pos 2 ist Mann unter der Bedingung Pos 1 ist Mann}) \cdot P(\text{Pos 3 ist Frau unter der Bedingung Pos 1 und Pos 2 sind Mann}) \end{eqnarray*}$

Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich über die Laplace-Wahrscheinlichkeit.

Das heißt im Grunde schaust du dir jeden Zug einzeln an:
Position 1: 5 günstige, 10 mögliche.
Position 2: 4 günstige, 9 mögliche.
Position 3: 5 günstige, 8 mögliche.
Position 4: 7 günstige, 7 mögliche (also hinfällig).
Position 5: 6 günstige, 6 mögliche (also auch hinfällig).
...

17.05.2011, 18:47

Gast11022013

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Danke, ich rechne mal damit:
[Weiterhin das Beispiel P(X=3):]

1. Position: Mann: Wahrscheinlichkeit: 0,5
2. Position: Mann: Wahrscheinlichkeit: 4/9
3. Position: Frau: Wahrscheinlichkeit: 5/8
4. bis 10. Position: Wahrscheinlichkeit 1

Insgesamt (vorerst):

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{5}{8}=\frac{5}{36} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich das noch teilen durch $\begin{eqnarray*} 2! \end{eqnarray*}$ , weil die beiden Männer an den Positionen 1 und 2 auf 2! Wegen angeordnet werden können.

Dann wäre ich bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2!\cdot 36}\approx 0,069444 \end{eqnarray*}$ (*)

Muss man jetzt noch eine ähnliche Überlegung für die Positionen 4 bis 10 anstellen?
[Ich meine: Muss man noch durch 7! teilen, weil man diese 7 Positionen noch beliebig anordnen kann?]

Dann käme ich schlussendlich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{5}{2!\cdot 36\cdot 7!}\approx 0,000014 \end{eqnarray*}$ (**),

was mir doch ein bisschen sehr klein vorkommt.

Stimmt also (*) oder (**)?

18.05.2011, 02:07

Zellerli

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Du müsstest wenn dann durch $\begin{eqnarray*} \frac{7!}{7!}=1 \end{eqnarray*}$ teilen oder damit multiplizieren. Denn nach der dritten Person ist jede der möglichen (Nenner) Personen auch eine günstige (Zähler) Person.
Der Teil davor ist richtig. Nachvollziehbarer bleibt es aber, wenn du die $\begin{eqnarray*} \frac{5}{10} \end{eqnarray*}$ nicht kürzt.

Du gehst ja über die Laplacewahrscheinlichkeit.

18.05.2011, 11:38

Gast11022013

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Sorry, zellerli, wenn ich Dich nicht verstanden habe.
Ich frage lieber nochmal nach. Augenzwinkern

Man rechnet also - ausführlich - :

$\begin{eqnarray*} \frac{5\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\cdot 2!} \end{eqnarray*}$

Aber wieso muss nicht noch ein $\begin{eqnarray*} 7! \end{eqnarray*}$ im Nenner stehen, schließlich kann man doch die Positionen 4 bis 10 auf 7! Wegen anordnen?

Für die Positionen 1 und 2 hat man deswegen ja auch das 2! im Nenner stehen.

------------
Nochmal ein anderes Beispiel: X=5

Da würde man dann rechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4!}\approx 0,000827 \end{eqnarray*}$ ?

Bei (2)
ist das doch jetzt so gemeint, dass man nicht mehr von insgesamt 10 Leuten ausgesehen soll, von denen 5 Frauen sind, sondern ganz allgemein:

Man hat n Leute und davon sind $\begin{eqnarray*} k\leq n \end{eqnarray*}$ Frauen. Diese Menschen reiht man wieder nach ihrem Ergebnis.
Und X=4 bedeutet zum Beispiel wieder, dass unter diesen n Leuten an 4. Stelle die erste Frau steht?

27.08.2011, 12:35

Gast11022013

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Ich muss hierzu nochmal etwas nachfragen.

Beispiel P(X=3).

Anscheinend ist es nicht richtig, zu rechnen $\begin{eqnarray*} \frac{5}{2!36} \end{eqnarray*}$ , sondern es muss auf das 2! im Nenner verzichtet werden.

Aber wieso? Ich verstehe das nicht.

Konkret:

Das X=3 soll ja bedeuten:

Position 1=Mann
Position 2=Mann
Position 3=Frau

Die restlichen Positionen sind egal.

Nun hat man doch für die erste Position 5/10, für die zweite Position 4/9 und für die dritte Position 5/8.

Also - wenn man dies multipliziert - 5/36.

Wieso muss man jetzt nicht beachten, daß man 1.) die Männer auf den Positionen 1 und 2 unter sich vertauschen kann (indem man durch 2! dividiert) und 2.) daß man die restlichen Personen auf den Positionen 4-10 vertauschen kann?

Edit:

Meine einzige Erklärung wäre:

Wenn die Resultate der Examen alle unterschiedlich sind, besteht ja nach Anordnen der Personen keine Möglichkeit mehr, den Erst- und Zweitplatzierten zu tauschen. Ebenso werden die Personen auf den Positionen 4-7 ja dann nicht mehr vertauscht.

Deswegen beachtet man wohl nur die Möglichkeiten der Anordnungen, wie sie nach Feststehen der Resultate aussehen könnten - dann können ja aber keine Veränderungen auf den Platzierungen mehr stattfinden.

27.08.2011, 13:39

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

Wieso muss man jetzt nicht beachten, daß man 1.) die Männer auf den Positionen 1 und 2 unter sich vertauschen kann (indem man durch 2! dividiert) und 2.) daß man die restlichen Personen auf den Positionen 4-10 vertauschen kann?

1) Weil es egal ist, welche Reihenfolge die Männer auf Platz 1 und 2 haben, diese sind in der Aufgabe sozusagen "nicht unterscheidbar" smile

2) Die Reihenfolge der Personen auf den hinteren Plätzen ist für die Lösung auch egal.

Man könnte auch so argumentieren:
Wenn du dies bei den denkbaren Möglichkeiten (Nenner) berücksichtigst dann müsstest du es bei den günstigen Möglichkeiten (Zähler) auch berücksichtigen, und es würde sich herauskürzen smile

Es wäre nach deiner Argumentation also
$\begin{eqnarray*} \frac{2!5}{2!36}=\frac{5}{36} \end{eqnarray*}$

27.08.2011, 13:46

Gast11022013

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Manchmal finde ich es wirklich schwierig, solche Dinge zu erkennen.

Und was Du sagst, leuchtet mir ein.

Es ist bei dieser Aufgabe ja wirklich egal, in welcher Reihenfolge die Männer auf den Positionen 1 und 2 stehen: Entscheidend ist ja nur, daß die erste Frau an dritter Position steht und die ersten beiden Positionen von Männern eingenommen werden.

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