Verwendung der Parameterform bei Spiralen

17.05.2011, 10:01	rsmathe0	Auf diesen Beitrag antworten »
Verwendung der Parameterform bei Spiralen Meine Frage: Mein Problem ist folgendes: Das Thema meiner Abi Präsentationsprüfung lautet "Kurven in Parameterform", den inhaltlichen Schwerpunkt sollte ich bei Spiralen setzen. Dabei bin ich näher eingegangen auf die Archimedische & die Fermatsche Spirale und Schraubenlinien, also Raumkurven. Zur Parameterform ebener Spiralen (Archimedische/Fermatsche) habe ich gefunden: x=x(t) y=y(t) Für Raumkurven: x=x(t) y=y(t) z=z(t) Jetzt sind meine Fragen: 1. Wofür genau und wie verwendet man schließlich diese Form? 2. Was setze ich für den Parameter t eigentlich ein? Meine Ideen: Ich habe ehrlich gesagt überhaupt keine Idee mehr was ich in meiner Präsentation zu dieser Folie noch sagen soll, außer die beiden Formeln aufzulisten. Ich bin mit meinem Latein langsam am Ende weil ich bis jetzt absolut nichts für mich verständliches dazu gefunden hab; weder im Netz noch in Büchern. Ich wäre sehr dankbar für jede Art der Hilfe!!
17.05.2011, 12:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Parameterdarstellungen einer Kurve im Raum lautet allgemein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man die Größe t als Zeit interpretiert, so wird dadurch jedem Zeitpunkt t ein Punkt im Raum zugeordnet. Das kann man was man z.B. als Flugbahn einer Fliege interpreteieren. Bei ebenen Kurven hat man natürlich nur zwei Komponenten (x,y). Das bedeutet, die Fliege krabblet entlang einer Kurve auf dem Tisch. ------------------ Beipiel: Kreis mit dem Kadius R=2 in der Ebene (Mittelpunkt=Nullpunkt) $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2\cdot \cos(\phi) \\ 2\cdot \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Beispiel 2: Schraubenlinie um die z-Achse; Radius=4 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4\cdot\cos(phi) \\ 4\cdot\sin(phi) \\ v\cdot phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hierbei kann man die konstante Größe v als Maß dafür betrachten, wie eng die Schraubenlinie gewickelt ist.
17.05.2011, 14:08	rsmathe0	Auf diesen Beitrag antworten »
schon mal vielen herzlichen Dank dafür, aber leider ist mir immernoch nicht klar warum ich die Spirale überhaupt so schreiben sollte? ich kann einfach keinen logischen satz formulieren, der klarmacht, wieso ich das so schreibe und was ich damit bezwecken will. ich würde gerne sagen können: man benötigt die Parameterform um ... aber keider kann ich den satz immernoch nicht beenden!
17.05.2011, 15:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Man benötigt die Parametrform einer Kurve, um z.B. die Flugbahn eines Geschosses zu beschreiben. Die Parameterform der Kurve ordnet dabei jedem Zeitpunkt t (=Parameter) die momentanen Koordinaten x(t), y(t), z(t) des Geschosses zu. Man kann dann sagen, zu welchem Zeitpunkt das Geschoss an welchem Ort war. Dies ist sehr nützlich. Aus der Parameterform lassen sich durch Differenzieren alle weiteren Größen berechnen: z.B. die momentane Geschwindigkeit des Geschosses, die momentane Beschleunigung, die Krümmung der Flugbahn u.v.a.
17.05.2011, 15:42	rsmathe0	Auf diesen Beitrag antworten »
super, endlich ist mir klar wozu ich das überhaupt mache! tolle erklärung, wirklich. also wenn mein parameter t der zeitpunkt ist, und ich nun für t z.B. 0,5 einsetze und r=4 ist, wie rechne ich dann letztendlich die Koordinaten aus? 4cos(phi) 4sin(phi) 0,5*phi ????
18.05.2011, 09:18	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ausdruck $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4\cdot \cos(\phi) \\ 4\cdot \sin(\phi) \\ 0,5\cdot \phi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stellt geometrisch eine Schraubenlinie dar, die sich mit dem Radius R=4 um die z-Achse schlängelt, wobei sich bei einer vollen Umdrehung $\begin{eqnarray} \phi=2\pi \end{eqnarray}$ ein Hub von $\begin{eqnarray} 0,5\cdot 2\pi=\pi \end{eqnarray}$ in z-Richtung ergibt. Hierbei ist der Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ der Parameter. Der obige Ausdruck spiegelt also nur die geometrische Form der Schraubenlinie wider (wie bei einem Gewinde). Man kann daraus nicht ableiten, "wie schnell" die Schraubenlinie durchlaufen wird, denn die Zeit kommt gar nicht vor (Das war nur ein Beispiel.) Als Prameter einer Kurve kann man ganz beliebige Größen wählen. Oft wählt man z.B. die Weglänge s der Kurve, die man als natürlichen Parameter bezeichnet. Die Zeit wählt man meist in der klassischen Mechanik, wenn man die Bahn eines Massepunktes verfolgen will. Setze z.B. oben für den Parameter $\begin{eqnarray} \phi=8\pi \end{eqnarray}$ ein. Dann erhältst die den Punkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4\cdot \cos(8\pi) \\ 4\cdot \sin(8\pi) \\ 0,5\cdot 8\pi \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 4\pi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das ist der Ort, den man nach 4 Umdrehungen auf der Schraubenlinie erreicht hätte.
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