Funktionsuntersuchung

17.05.2011, 11:27	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsuntersuchung Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen und untersuchen Sie diese auf (einseitige) Stetigkeit und hebbare Definitionslücken. a) $\begin{eqnarray} f_1:x\to\frac{x^2+1}{\sqrt{4-x^2}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f_2:x\to\frac{x^3-2x^2-x+2}{x^4-2x^3-3x^2+8x-4} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f_3:x\to\frac{\ln(\sin(x))}{1+\cos(x)} \end{eqnarray}$ Meine Ansätze: zu a) Also der Definitions bereich ist ja (-2,2) da weder im Nenner Null stehen darf noch unter der Wurzel eine negative Zahl (--> wobei sich mir hier die frage stellt ob man davon ausgehen kann dass nur die Reellen zahlen betrachtet werden) Im bereich (-2,2) ist die Funktion Stetig also gibt es hier keine Definitionslücken. Aber wie beweise ich das? und wie untersuche ich jetzt auf einseitige Stetigkeit? zu b) den bruch habe ich via polinomdivision auf $\begin{eqnarray} \frac{1+x}{x^2+x-2} \end{eqnarray}$ vereinfachen können. Dasheißt der Definitionsbereich liegt bei $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus {-2, 1} \end{eqnarray}$ Der wertebereich ist $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ Weiter weiß ich auch hier nicht zu c) Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} \mathbb R \setminus {(2n-1)\pi} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Wertebereich ist $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ es Dibt also definitionslücken aber die sind nicht hebbar.. richtig!?
17.05.2011, 12:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Für eine beliebige Stelle x0 innerhalb des Definitionsbereiches muss der Grenzwert der Funktion gleich dem Funktionswert sein (dies gilt im Falle der Stetigkeit). Einseitig stetig ist eine Funktion dann, wenn der Grenzwert nur von einer Seite aus existiert. Das passiert meist an den Rändern des Definitionsintervalls oder bei (endlichen) Sprungstellen. b) Wegen der Division durch Linearfaktoren hast du dich der Definitionslücken begeben, d.h. also diese unter den Tisch fallen lassen. c) Warum sind diese Definitionslücken nicht hebbar? Welchen Wert nimmt in diesem Falle der Zähler an? mY+
17.05.2011, 13:01	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Jo also $\begin{eqnarray} f_1 \end{eqnarray}$ geht ja sowohl für $\begin{eqnarray} x\to -2 \end{eqnarray}$ also auch für $\begin{eqnarray} x\to+2 \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ . also ist die funktion im definitionsbereich stetig und gegen +/-2 einseitig stetig oder wie?! b) das stimmt natürlich also ich habs noch mal versucht umzuformen: $\begin{eqnarray} \frac{(x-1)(x+1)(x-2)}{(x-2)(x+2)(x-1)^2} \end{eqnarray}$ also ist der Definitions bereich: $\begin{eqnarray} \mathbb R\setminus \{2, -2, -1\} \end{eqnarray}$ c) nja der zähler geht für $\begin{eqnarray} x\to \pi \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$
17.05.2011, 13:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Nein. Die Ränder des Intervalls gehören aber NICHT zum Definitionsbereich. Ausserdem ist der Grenzwert dort unendlich und existiert deshalb gar nicht. Somit kann keine Stetigkeit, welche auch immer, vorliegen. b) Und was ist nun mit den Definitionslücken? Es gibt nämlich welche ... (Tipp: Betrachte den Faktor, durch den du gekürzt hast) c) Richtig, also existiert dort kein Funktionswert und es gibt dort tatsächlich keine behebbare Lücke. mY+
17.05.2011, 13:23	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
b) naja also für $\begin{eqnarray} x\to1 \end{eqnarray}$ geht $\begin{eqnarray} f_2 \end{eqnarray}$ divergiert die funtion auf jedenfall aber für $\begin{eqnarray} x\to2 \end{eqnarray}$ konvergiert die funktion nach hôpital gegen $\begin{eqnarray} \frac34 \end{eqnarray}$ also kann ich quasi die funktion fetig machen indem ich sage für $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ gitl $\begin{eqnarray} f(x)=\frac34 \end{eqnarray}$
17.05.2011, 14:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber den Grenzwert kannst du auch anders ermitteln, eben ohne L'Hospital. Entweder mit der links- und rechtsseitigen Grenzwertbestimmung oder indem du in den reduzierten Funktionsterm einfach statt x = 2 einsetzt: $\begin{eqnarray} \frac{1+x}{x^2+x-2} = \frac 3 4 \end{eqnarray}$ Schön, nicht? mY+
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17.05.2011, 14:32	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube langsam klingelts bei mir vielen dank dafür

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