Abstand zweier windschiefer Geraden (nicht über HNF), eher allgemeines Problem..

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musser Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand zweier windschiefer Geraden (nicht über HNF), eher allgemeines Problem..
Meine Frage:
Wenn man zwei windschiefe Geraden hat, ist mir klar, wie dieser Abstand über die HNF berechnet werden kann.

Man sollte doch aber auch analog zum Abstandsproblem Gerade - Punkt (in 3D) vorgehen können sollen .
Da legt man eine Ebene senkrecht zur Geraden durch diesen Punkt, schneidet dann diese Ebene mit der Gerade, hat dann einen Schnittpunkt und kann zwischen diesem und dem gewünschten Punkt den Zwischenvektor und dessen Betrag berechnen..

Wieso geht das analog nicht auch für 2 windschiefe Geraden?

Meine Ideen:
Ich habe zwei Geraden, gegeben durch Anfangspunkt und Richtungsvektor.

A(-3/1/-2), a=(4,1,3)
B(6/-6/-9), b=(-2,5,4)

über HNF ermittelt, Abstand =3..

Ebene senkrecht zu a durch B, also a als Normalenvektor..

--> E: 4x + y + 3z + 9 = 0

dann diese Ebene schneiden mit der Geraden a.

--> Schnittpunkt S(-23/13 / 17/13 / -14/13)

Zwischenvektor zwischen diesem und B bestimmen

v=(-101/13, 95/13, 103/13)

|v|=13.287

was definitiv nicht =3 ist...

wo liegt mein Fehler, das müsste eher ein grober Überlegungsfehler als ein Rechen-/Tippfehler sein..

Vielen Dank
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Methode würde nur dann funktionieren, wenn Punkt B den geringsten Abstand zur Gerade a hat. Den hat er ja nicht, und wenn, dann nur durch Zufall.

Dieses Thema ist hier schon öfters behandelt worden. Gib unter Suchen rechts im oberen Kasten einfach "Abstand windschiefer Geraden" ein, damit findest Du verschiedene Methoden.

Natürlich kannst Du hier dann weiter fragen; am besten mit konkreten Beispielen, wie schon von Dir gezeigt.
musser Auf diesen Beitrag antworten »

die anderen beiträge habe ich schon angeschaut, bevor ich diesen Beitrag gepostet habe..

Und diese Überlegungen sind mir auch klar..

Nur verstehe ich nicht ganz, wieso das mit B nicht klappt. Wenn ich mit der HNF arbeite, spielt es keine Rolle, welchen Punkt ich nehme, da ich eine Ebene habe, die zu jedem der Punkte den gleichen Abstand hat.

Dieser minimale Abstand ist gegeben, sobald die Verbindungsgerade im rechten Winkel zu beiden Geraden steht..
--> (Das habe ich jetzt überprüft, und diese Ebene ist also definitiv nicht zu beiden senkrecht.. Augenzwinkern , also kann es meine Lösung schon überhaupt nicht mehr sein..)

Wäre es dann aber nicht auch möglich, über das Vektorprodukt zwischen a und b den Richtungsvektor der Verbindungsgerade zu finden?

also dementsprechend v= a x b=(-11,-22,22) oder gekürzt v=(1,2,-2)..

nun könnte ich den an A (oder B) anhängen, eine Gerade..

--> (-3,1,-2)+s(1,2,-2) und müsste diese Gerade nun mit Gerade B schneiden können..

Gibt mir in diesem Fall aber keine Lösung aus..

Schon wieder ein grober Überlegungsfehler?

Vielen Dank für eure Geduld..
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

du hast den Abstand des Punktes B von der ersten Geraden berechnet. Dass B auf der zweiten Geraden liegt ist ohne Bedeutung. ( Der Punkt B könnte ja auch ganz ganz weit weg liegen )

Zitat:
Original von musser

Wäre es dann aber nicht auch möglich, über das Vektorprodukt zwischen a und b den Richtungsvektor der Verbindungsgerade zu finden?

also dementsprechend v= a x b=(-11,-22,22) oder gekürzt v=(1,2,-2)..


ja!

Zitat:

nun könnte ich den an A (oder B) anhängen, eine Gerade..


nein!

Zitat:

--> (-3,1,-2)+s(1,2,-2) und müsste diese Gerade nun mit Gerade B schneiden können..

Gibt mir in diesem Fall aber keine Lösung aus..

Schon wieder ein grober Überlegungsfehler?


ja. .... Weil die Gerade zwar senkrecht in A "startet" aber Gerade zwei nicht schneidet.


Was folgert daraus? Die Lotfusspunkte der (senkrechten ) Verbindungsstrecke sind nicht A und auch nicht B
musser Auf diesen Beitrag antworten »

aber kann ich ein Lot nicht überall auf diesen Geraden "platzieren"?

Ich versteh das nicht..

was muss ich denn mit diesem Vekor axb anfangen.. wohin setz ich den, um dasselbe Resultat wie mit der HNF zu bekommen.. Wo ist der Lot-Punkt..? Ansätze? Hilfe..?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ergebnisvektor eines Vektorprodukts ist die zentrale Idee. Aber wenn Du ihn irgendwo einsetzen willst, probierst Du ja nur herum, und das kann ja ewig dauern, bis Du dabei auf die andere Gerade triffst.

Du könntest z. B. das probieren: Geh vom Punkt A aus bis zum ersten Punkt, von dem der kleinste Lotabstand zur anderen Gerade weggeht, von diesem Punkt zum Lotpunkt auf der anderen Gerade, von diesem bis Punkt B.

Da gibt es insgesamt drei unbekannte Parameter, aber Du hast ja ein dreizeiliges LGS.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von musser
aber kann ich ein Lot nicht überall auf diesen Geraden "platzieren"?

können schon... nur bringt das Nichts.

Versuch es mal mit einem geschlossenen Vektorzug, der über alle drei relevanten Teile führt.



----------------- edit: explizit wie von Gualtiero angedeutet---------

Das gibt 3 Gleichungen mit 3 Variablen.

der Abstand ist dann

Ausserdem fallen, falls gewünscht und wie oben angedeutet, die Lotfusspunkte Fa und Fb an.
musser Auf diesen Beitrag antworten »

hmm.. ich möchte jetzt nicht "desinteressiert" wirken.. ich finde das thema eigentlich wirklich spannend. aber ich glaube, ich blicke hier noch nicht wirklich durch, um diesen ansatz zu verstehen, also scheint mir der Weg mit der HNF der einfachere zu sein..

Ein Lehrer hat zudem noch die Methode mit der Flächenberechnung erwähnt, bei der man mithilfe des Vektorprodukts eine Fläche aufspannt, diese dann durch die Grundseite dividiert und somit die Höhe - also den Abstand - erhält..

Werde mir diese beiden Methoden nochmals gut anschauen, ich hoffe, das sollte genügen.. Ich glaube - auch wenn ich euch extrem dankbar bin für eure Hilfe - dass das ein Niveau zu hoch ist für mich.. Kann dem nicht folgen..
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

seltsam nur, dass Ihr in Vektorrechnung mit dem Kreuzprodukt hantiert, aber die Grundprinzipien nicht richtig bekannt sind...
Dann bis zum nächsten Mal.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
was muss ich denn mit diesem Vekor axb anfangen.. wohin setz ich den, um dasselbe Resultat wie mit der HNF zu bekommen.. Wo ist der Lot-Punkt..?


Ein recht einfach nachzuvollziehender Ansatz geht auch einfach durch den Zusammenhang denn der Verbindungsvektor der beiden den kleinsten Abstand zueinander besitzenden Punkte G un H muss ja ein Vielfaches des zu den beiden Richtungsvektoren senkrecht stehenden Normalenvektors sein. G und H sind zunächst einfach allgemeine Punkte auf der entsprechenden Geraden, G lautet also z.B. hier (-3+4r|1+r|-2+3r)
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dies entspricht genau der bereits erwähnten Methode des geschlossenen Vektorzuges (nur ein wenig umgestellt). Hier wie dort werden die Parameter r, s und t mittels eines lGS zu ermitteln sein.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

eine hübsche (nur) 2-parametrige variante arbeitet mit dem skalarprodukt, man erspart sich dabei auch das kreuzprodukt:





im konkreten



warum das funktioniert, sollte klar sein Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wirklich sehr hübsch smile

mY+
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

gefällt mir auch sehr gut!
Man lernt eben immer noch dazu oder je älter desto besser Augenzwinkern
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