Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation

17.05.2011, 15:04

Schweinski

Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation

Hallöle!

Ich stehe mal wieder voll auf dem Schlauch!

Beweise:
1. $\begin{eqnarray*} A (\vec{x} +\vec{y} ) = A\vec{x} + A\vec{y} \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} c * (A\vec{x}) = (c*A)\vec{x} = A(c* \vec{x} ) \end{eqnarray*}$ c Element aus R

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to Idee} = 0 \end{eqnarray*}$

LG smile

17.05.2011, 15:08

klarsoweit

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RE: Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation
Wo ist das Problem? Nimm die Definition von $\begin{eqnarray*} A\vec{v} \end{eqnarray*}$ und zeige die Gleichungen.
Ist vielleicht etwas Schreibarbeit, aber nichts weltbewegendes. smile

17.05.2011, 15:23

Schweinski

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RE: Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation
Leider doch.
Wir hatten den Begriff "Vektor" noch nicht. Wir rechnen bisher nur mit Matrizen.

Die Definition haben wir heute wie folgt aufgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} bi = aix1 + ai2x2 + ... + ainxn \end{eqnarray*}$
für i=1,2,...m

17.05.2011, 15:26

Schweinski

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RE: Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation
Könnte das so aussehen? :

Zu 1:
$\begin{eqnarray*} A (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

17.05.2011, 15:54

klarsoweit

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RE: Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation

Zitat:

Original von Schweinski
Wir hatten den Begriff "Vektor" noch nicht. Wir rechnen bisher nur mit Matrizen.

Dann mußt du mit der Aufgabe warten, bis der Begriff definiert ist. Wobei ein Vektor quasi auch nur eine ein-spaltige Matrix ist.

Zitat:

Original von Schweinski
Könnte das so aussehen? :

Zu 1:
$\begin{eqnarray*} A (\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

Das wäre ein Anfang. Allerdings schränkst du das auf 3-komponentige Vektoren ein.

Ich schieb das mal in die Hochschulmathe.

17.05.2011, 15:59

Schweinski

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RE: Beweis von Distributiv- und Assoziativgesetz bei Matrizenmultiplikation
Nr. 1

Ich habe mir ein Beispiel zurechtgelegt:
$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das würde dann heißen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -1 & \\ 0 & 3 \end{pmatrix} * (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
Und dann Klammern auflösen.

17.05.2011, 20:20

Schweinski

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Wie mir aufgefallen ist: Das Beispiel ist ungeeignet.
Ich würde die Regel anwenden, die ich gerade zu beweisen versuche.

Neue Taktik:
Habe mir ein Matrix für A, für die Vektoren x und y und eine Variabel c ausgesucht
und runtergerechnet. Die Ergebnisse sind gleich. Somit ist die Regel zwar anhand eines
Beispiels gelöst, aber ich habe keine allgemeine Herleitung.
Wie soll das gehen? Summenzeichen?

17.05.2011, 22:13

Hamsterchen

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Hi,
deine Idee mit dem Summenzeichen ist doch gut. Und du hattest ja eine "Formel" schon aufgeschrieben.
Also wenn du eine Matrix A mit einem Vektor b multiplizierst, dann hat der Vektor c, der dabei rauskommt, welche Einträge (an der i-ten Stelle)?
Und dann musst du dir überlegen, wie die Einträge eines Vektors aussehen, der durch Addition zweier Vektoren entsteht.

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