Nullmenge

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alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »
Nullmenge
Sei eine Nullmenge. Zeigen Sie, dass N keine inneren Punkte hat.

Ehrlich gesagt hab ich keine Ahnung wie ich das zeigen soll.

einzige was mir hier einfällt wäre die Definition des inneren Punktes. Ich müsste demnach zeigen, dass es keine Teimenge von N gibt, die einen Punkt x aus N enthält und in R^n offen ist. Richtig? Wie stell ich das an?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Viel zu zeigen bleibt ja nicht mehr. Hast du eine offene Umgebung so auch bestimmt eine Umgebung von der du das Maß angeben kannst.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Viel zu zeigen bleibt ja nicht mehr. Hast du eine offene Umgebung so auch bestimmt eine Umgebung von der du das Maß angeben kannst.


Edit: war schwachsinn was ich geschrieben hatte. Naja wenn es sich um ne Nullmenge handelt, dann ist das Maß ja offensichtlich 0. Aber was kann ich daraus für Punkte der Menge N schlussfolgern?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn N offen ist, so enthält sie eine Epsilonumgebung um x. Wähle die zugehörige Norm für die Epsilonumgebung geschickt und du bist fertig.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn N offen ist, dann ist doch aber jeder Punkt von N ein innerer Punkt. Ich muss ja zeigen, dass dem nicht so ist!

Also wenn N offen sein soll, dann muss gelten:



Ich müsste jetzt ne Vorschrift für epsilon finden, die sagt, dass es zu jedem x aus N kein einziges y aus R gibt, welches diese Ungleichung erfüllt. Ja?
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

push
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst einen Widerspruchsbeweis, du nimmst an es gibt einen inneren Punkt, dieser hat eine Umgebung. Die hatte ich N genannt weil ich dachte du nennst sie so, aber da N was anderes bedeutet nennen wir sie eben M.

Jetzt führe meinen Tipp durch. Viel mehr helfen ohne die Lösung zu verraten kann ich nicht mehr.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also sei und und offen in .
Dann heißt offene Umgebung von x.

Das ist doch soweit richtig, oder?

Das heißt x ist ein innerer Punkt von N wenn es eine offene Teilmenge M von N gibt, die x enthält und in R offen ist.

Und das muss ich nun widerlegen, in dem ich das epsilon so wähle, dass die abstandsformulierung für dieses M nicht erfällt werden kann, ja?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von alex2007
Und das muss ich nun widerlegen, in dem ich das epsilon so wähle, dass die abstandsformulierung für dieses M nicht erfällt werden kann, ja?

Nein: Es ist , woraus mit dann auch folgt - das ist dann der Widerspruch, der die Annahme "N besitzt innere Punkte" zu Fall bringt.
terri Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die selbe Aufgabe wie unser Axel, und würde gerne wissen in wieweit meine Lösung korrekt ist:

Annahme: N ist Nullmenge und N hat innere Punkte



mit


Widerspruch

n sei hierbei die Raumdimension und das karteisische Produkt.

Ich denke, der einzige Schwachpunkt könnte im liegen:
Muss ich das genauer abschätzen? Und wenn ja, kann ich dafür "elementargeometrische" Mittel nutzen, sollen heißen einfach nen Würfel in eine Kugel legen? Vermutlich nicht in n Raumdimensionen....
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