Linksinverse

17.05.2011, 16:20

ChronoTrigger

Linksinverse

Hallo,

ich möchte folgende Aussage beweisen:

Sei K ein Körper und $\begin{eqnarray*} A \in K^{m \times n} \end{eqnarray*}$
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f: K^n \to K^m, x \to Ax \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \implies \end{eqnarray*}$ die Matrix A ist links-invertierbar, d.h. es existiert eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \in K^{n \times m} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} BA=I_n \end{eqnarray*}$ .

folgendes habe ich mir bisher überlegt:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \implies Kern(f)=\{0 \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies dim Kern(f)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies rang(f)=n \end{eqnarray*}$ , d.h. die Matrix A besteht aus n linear unabhängigen Spalten.

jetzt habe ich allerdings keine Idee, wie von hier auf die Existenz einer Linksinversen kommen kann.

kann mir dabei jemand einen tipp geben?

danke schonmal im voraus.

17.05.2011, 22:49

Reksilat

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RE: Linksinverse
Hi ChronoTrigger,

Du musst Dir Dein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ passend definieren und dafür benötigst Du eine Basis des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ .

Wenn Du einen Basis $\begin{eqnarray*} \{b_1,...,b_n\} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ hast, dann wirst Du sehen, dass $\begin{eqnarray*} \{Ab_1,...,Ab_n\} \end{eqnarray*}$ eine Basis des Bilds von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist. Diese kannst Du zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ ergänzen.
Nun brauchst Du Dir nur noch zu überlegen, wie Du Dein $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ auf dieser Basis definieren musst, um die gewünschte Eigenschaft zu erhalten.

Gruß,
Reksilat.

17.05.2011, 23:13

ChronoTrigger

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Hi Reksilat,

danke für die tipps!

Dann versuche ich mal, diese umzusetzen.

Ich nehme mir also eine Basis $\begin{eqnarray*} B:=\{ b_1,...,b_n \} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ .

Da die Abbildung f injektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} dim Bild(f)=n \end{eqnarray*}$ , und da in den Spalten der Matrix A die Bilder der Basisvektoren aus B stehen, sind diese linear unabhängig und somit eine Basis des Bildes von A.

Jetzt ergänze ich B zu einer Basis $\begin{eqnarray*} C=\{Ab_1,...,Ab_n,b_{n+1},...,b_m \} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} b_{n+1},...,b_m \in K^n \end{eqnarray*}$ .

Da ich eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix bekommen soll, vermute ich dass ich meine Matrix B so definieren kann:

$\begin{eqnarray*} Bv_i=e_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v_i \in Bild(A) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} Bv_j=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \notin Bild(A) \end{eqnarray*}$

habe ich das so richtig verstanden?

17.05.2011, 23:25

Reksilat

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Zitat:

Jetzt ergänze ich B zu einer Basis $\begin{eqnarray*} C=\{Ab_1,...,Ab_n,b_{n+1},...,b_m \} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} b_{n+1},...,b_m \in K^n \end{eqnarray*}$ .

Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ liegen im allgemeinen nicht in einer Basis des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ . Lehrer

Die Schreibweise mit den $\begin{eqnarray*} b_{n+1},...,b_m \end{eqnarray*}$ ist zudem irritierend, da diese ja eben in einem ganz anderen Raum (dem $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ ) liegen als $\begin{eqnarray*} b_1,...,b_n \end{eqnarray*}$ (im $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ). Nenne sie lieber $\begin{eqnarray*} c_{n+1},...,c_m \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Da ich eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix bekommen soll, vermute ich dass ich meine Matrix B so definieren kann:
$\begin{eqnarray*} Bv_i=e_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} v_i \in Bild(A) \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} Bv_j=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \notin Bild(A) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ sind hier fehl am Platze, denn es war ja auch vorher nirgendwo von der Standardbasis die Rede. Diese ist eh nur hilfreich, wenn man Matrizen mit konkreten Werten betrachtet. Bei allgemeineren Untersuchungen nimmt man lieber eine beliebige Basis als Grundlage. Hier haben wir außerdem ja schon eine Basis gefunden.

Auch sonst willst Du zuviel. Eine lineare Abbildung ist immer eindeutig durch die Bilder einer Basis des Definitionsbereichs festgelegt. Du musst also nur festlegen, wie Dein B die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} Ab_1,...,Ab_n,c_{n+1},...,c_m \end{eqnarray*}$ abbildet. – Auf der richtigen Spur bist Du aber allemal.

17.05.2011, 23:45

ChronoTrigger

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Zitat:

Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ liegen im allgemeinen nicht in einer Basis des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ .

da habe ich nicht aufgepasst, da hast du natürlich recht smile

Ich habe dann also die Basis $\begin{eqnarray*} C=\{Ab_1,...,Ab_n,c_{n+1},...,c_m\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Du musst also nur festlegen, wie Dein B die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} Ab_1,...,Ab_n,c_{n+1},...,c_m \end{eqnarray*}$ abbildet.

Dann müsste es so aussehen für $\begin{eqnarray*} v_i:=Ab_i \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_j:=c_j \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} j=n+1,...,m \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} Bv_i:=b_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Bw_j:=0 \end{eqnarray*}$

17.05.2011, 23:56

Reksilat

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Ja, genau so kannst Du es machen. (Wobei es letztlich gar keine Rolle spielt, worauf Du die $\begin{eqnarray*} c_j \end{eqnarray*}$ genau abbildest.)
Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray*} ABb_i=b_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ die Identität auf $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ist.

Allerdings muss ich sagen, dass ich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ jetzt als lineare Abbildungen gesehen habe und nicht als Matrizen. Aber das ist nicht schlimm, da man für die Argumentation (und fürs Verständnis) eh über die linearen Abbildung gehen sollte. Ersetze einfach überall A durch f und B durch g.
Die Matrixdarstellung zu g (also das B) erhältst Du dann eben wieder, indem Du g bezüglich der gleichen Basen darstellst, bezüglich der auch A definiert ist (was hier wohl die Standardmatrizen sind).

Gute Nacht,
Reksilat.
Schläfer

17.05.2011, 23:58

ChronoTrigger

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dann danke ich dir für die tolle hilfe smile

gute nacht!

18.05.2011, 07:53

jester.

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Hallo,

natürlich kann Reksilat das nicht wissen, aber du bist doch schon in einer sehr komfortablen Position, was diese Aufgabe angeht:
Sie folgt nämlich m.E. in wenigen Zeilen (vllt. 2?) aus Aufgabe 4 dieses Übungsblatts und Aufgabe 5 auf dem letzten. Augenzwinkern

18.05.2011, 08:07

ChronoTrigger

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Hi jester,

meinst du das vielleicht so:

Da f injektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} Rang(f)=n \end{eqnarray*}$ , und da Zeilenrang = Spaltenrang gilt, ist auch der Zeilenrang der Matrix A gleich n.

Jetzt könnte ich doch einfach den Gauß Algorithmus auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ (wegen Zeilenumformungen) loslassen,bis ich am Ende eine $\begin{eqnarray*} (n \times n) \end{eqnarray*}$ Einheitsmatrix dort stehen habe(das sollte klappen, da ja diesmal K ein Körper ist), und alle Umformungen in den entsprechenden Elementarmatrizen speichern.

Zum Schluss kann ich noch das Produkt aller Elementarmatrizen bilden und erhalte dann somit eine gesuchte Linksinverse.

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