Vektoren, Matrizen und Koordinatensysteme

17.05.2011, 18:17	MitschMüller	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren, Matrizen und Koordinatensysteme Meine Frage: Ich habe gemerkt, dass ich ein Verständnisproblem bezüglich der Form von Vektoren und dem Übertrag von Vektoren in Matrixform in ein Koordinatensystem habe. Ich habe versucht, mir das mit einer wilden Kombination aus Schulbüchern, Skripten und Internetvideos klarzumachen, aber ohne Erfolg. Ich schildere mal kurz meine Annahmen und die damit verbundenen Fragen (wobei die Fragen deutlich überwiegen): 1. In vielen Texten werden Vektoren in "Matrixform" geschrieben. $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt es nun, dass dieser Vektor, in ein zweidimensionales Koordinatensystem übertragen, zwischen den Punkten (0,0) und ( $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ ) "verläuft". Oder anders: wäre eine äquivalente, aber längere Schreibweise dieses Vektors die folgende: $\begin{eqnarray} \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 & x_1\\ 0 & x_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. Ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ hat als Matrix geschrieben mindestens zwei Zeilen und höchstens zwei Spalten. Die beiden Einträge in der Spalte der Matrix beschreiben die Lage eines Punktes in einem zweidimensionalen Kordinatensystem. 3. Ein Vektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ hat nun mindestens drei Zeilen und höchstens zwei Spalten und läßt sich in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen. 4. Nun bin ich aber in einem Text über Vektoren der folgenden Art gestolpert: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}, \in \mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ Sind meine obigen Annahmen nun totaler Quatsch, oder gibt es in der Mathematik eine vierte Dimension? Wo und in was für ein Koordinatensystem läßt sich denn dieser Vektor einzeichnen? Tausend Dank schon mal für jeden erhellenden Kommentar. Meine Ideen: Sind oben beschrieben.
17.05.2011, 18:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches Vorwissen hast du? Vektoren sind die Elemente eines Vektorraums. Der kann eine endliche oder eine unendliche Dimension haben. Wenn wir einen Vektor durch einen Koordinatenvektor darstellen wollen, brauchen wir eine Basis. Den Gedanken mit der Matrix vergiß bitte wieder. Wenn dich eher die analytische Geometrie interessiert, wird die Dimension wohl maximal 3 sein. In der Linearen Algebra ist sie durchaus größer.
17.05.2011, 18:34	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren, Matrizen und Koordinatensysteme Deine Ausführungen sind teilweise konfus und nur schwer nachzuvollziehen. Ein Vektor ist erst einmal ein Element eines Vektorraums. In der Analytischen Geometrie können wir einen Vektor als "richtungsgebenden Pfeil" auffassen, die Vorstellung, dass jeder Vektor im Ursprung beginnt kann hierbei hilfreich sein. Nun kommen wir zum wesentlichen deiner Frage, den Vektorräumen $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Die Elemete dieses Vektorraums haben immer die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\...\\...\\x_n\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ein Vektor der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_{1,1} & x_{1,2} &.......&x_{1,m} \\ x_{2,1} & x_{22} & ..... & x_{2,m} \\ .... & ... & ... &.... \\x_{n,1} & x_{n,2} & ...... & x_{n,m} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist Element des Vektorraumes $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n \times m} \end{eqnarray}$ , also eine Matrix mit m Spalten und n Zeilen. Also ist der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&x_1\\0&x_2 \end{pmatrix} \notin \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Es ist fernerhin $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&x_1\\0&x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R^{2 \times 2} \end{eqnarray}$ . Ein Vektor der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0&x_1\\0&x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Aussagen 2 und 3 sind also falsch, ein Vektor aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ hat (als Spaltenvektor geschrieben) genau eine Spalte mit zwei Einträgen. Ein Vektor aus dem dreidimensionalen reellen Raum hat nun ebenfalls genau eine Spalte und drei Zeilen, wieder als Spaltenvektor geschrieben. Der Raum $\begin{eqnarray} \mathbb R^2= \mathbb R \times \mathbb R =\left\{(a,b) \| a,b \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray}$ besteht aus allen 2-Tupeln mit Einträgen aus IR. So, viel geschrieben wenig gesagt, ich hoffe, ich konnte weiter helfen. Einen vierdimensionalen Raum über den reellen Zahlen gibt es auch, allerdings würde ich mir nicht die Mühe machen würde, ein Element aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ in ein Koordinatensystem einzuzeichnen, die Vorstellungskraft gerät hier an ihre Grenzen. Edit: Hups, ein wenig lange gebraucht.....
18.05.2011, 15:46	MitschMüller	Auf diesen Beitrag antworten »
"Konfus" trifft's. Dementsprechend doppelter Dank für die Mühe euch beiden!

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