Unabhängigkeit, Existenzbeweis

17.05.2011, 18:36	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit, Existenzbeweis Hi Leute! Folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} n \ge 3 \end{eqnarray}$ "Münzwürfe", Wkt. für Zahl ist $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ . A=Alle Würfe haben das gleiche Ergebnis. B= Höchstens einmal Kopf. Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray} n \ge 3 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ existiert, sodass A und B unabhängig sind. Gut, ich hab folgende Gleichung aufgestellt: $\begin{eqnarray} P(A\cap B) = p^n = (p^n +(1-p)^n ) (p^n + \binom{n}{1} p^{n-1} (1-p) ) = P(A)P(B) \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich zeigen, dass ich für alle n größer 3 eine Lösung der Gleichung in (0,1) finde. Das gestaltet sich allerdings recht schwierig, ausmultiplizieren verschlimmert das Ganze nur. Wie kann ich hier sinnvoll argumentieren? Viele Grüße
17.05.2011, 19:57	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unabhängigkeit, Existenzbeweis Man könnte die Gleichung erst mal durch p^n teilen, wobei man rechts am bequemsten den rechten Faktor teilt. Die Gleichung hat dann die Form $\begin{eqnarray} 1=f(n, p) \end{eqnarray}$ Dann kann man sich f(n, 1) anschauen und den Grenzwert für f(n, 0). Daraus wird ersichtlich, dass es genügt zu zeigen, es gibt ein p mit f(n, p) < 1. Dafür habe ich einen sehr einfachen und sehr uneleganten Beweis gesehen. Aber jetzt darfst du erst mal selbst überlegen.
17.05.2011, 20:05	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke dir erstmal. Ich habe dann $\begin{eqnarray} f(n,p) = (p^n + (1-p)^n ) (1+n\frac1p (1-p)) = 1 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f(n,1)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{p \to 0} f(n,p) = \infty \end{eqnarray}$ . Allerdings erschliesst sich mir überhaupt nicht, welcher Gedankengang dazu führt, dass es ab hier genügt zu zeigen, dass ein p mit f(n,p)<1 existiert?! edit: Man könnte hier mit Stetigkeit argumentieren, dass mit f(n,p)<1 und dem Grenzwert unendlich ein p existieren muss so, dass die Funktion dann 1 ergibt. Allerdings kann das ja dann der Fall p=1 sein und ich suche ja ein p aus (0,1) ?! edit2: Ach ne, ich verstehe. Wir gehen ja in die andere Richtung. Okay dann folgt mit Stetigkeit und Zwischenwertsatz tatsächlich durch f(n,p)<1 die Behauptung. Nun muss ich nur noch so ein p finden bzw. zeigen, dass es existiert. Ich mach mich mal daran.
17.05.2011, 20:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, f(n. p) ist doch in (0, 1) stetig. Wenn es also mal < 1 ist und wieder nach unendlich will, soll, muss, dann .... Edit: Nach deinem Edit p =1 kann dieser Wert nicht sein. Der liegt doch außerhalb des Intervalls, in dem f wieder 1 muss.
17.05.2011, 20:13	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. f(n, 0.5) <1 für alle n>3 kann ich zeigen. Den Fall n = 3 erfüllt p=1/2. Damit bin ich fertig, oder?
17.05.2011, 20:19	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja!
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17.05.2011, 20:21	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, Vielen Dank

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