Gleichung 4. Grades durch substituieren quadratisch machen

17.05.2011, 19:33

tribe

Gleichung 4. Grades durch substituieren quadratisch machen

Hallo,

Ich würde gerne folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} u^4-3u^2+1=0 \end{eqnarray*}$

dazu substituiere ich $\begin{eqnarray*} u^2=h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h^2-3h+1=0 \end{eqnarray*}$

Mit der p,q-Formel bekomme ich

$\begin{eqnarray*} h_{1,2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}-1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{1,2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} u^2=h \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} u=\sqrt{h} \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} u=\sqrt{\frac{3\pm \sqrt{5} }{2}} \end{eqnarray*}$

in der Lösung steht aber ein +/- vor der Wurzel

$\begin{eqnarray*} u=\pm \sqrt{\frac{3\pm \sqrt{5} }{2}} \end{eqnarray*}$

Das verstehe ich nicht ganz, warum muss hier das +/- her?

Weiters würde ich gerne wissen wie die letzte Gleichung auf folgende Form gebracht werden kann:

$\begin{eqnarray*} =\pm \frac{\sqrt{5}\pm 1 }{2} \end{eqnarray*}$

Komme einfach nicht auf die zwischenschritte unglücklich

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen smile

17.05.2011, 20:20

Cheftheoretiker

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RE: Gleichung 4. Grades durch substituieren quadratisch machen
Wenn du die Wurzel ziehst, erhälst du immer den Betrag.

$\begin{eqnarray*} x^2=1 |\sqrt{} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -x=1|*(-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

18.05.2011, 17:58

tribe

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Ich verstehe, Danke smile

Nun bräuchte ich bitte noch einen Tipp wie man von der ersten auf die zweite Gleichung kommt.

Zitat:

Original von tribe

$\begin{eqnarray*} u=\pm \sqrt{\frac{3\pm \sqrt{5} }{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u= \pm \frac{\sqrt{5}\pm 1 }{2} \end{eqnarray*}$

19.05.2011, 09:03

klarsoweit

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Meine Güte, laß doch mal Phantasie walten. Schlimmstenfalls quadrierst du die beiden rechten Seiten und schaust, ob das gleiche rauskommt. Es geht aber auch so:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{5 \pm 2\sqrt{5} + 1}{4}} = \sqrt{\frac{(\sqrt 5 \pm 1)^2}{4}} \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

19.05.2011, 12:44

tribe

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Danke

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