Münze auf ein Quadrat werfen

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MatheIstToll Auf diesen Beitrag antworten »
Münze auf ein Quadrat werfen
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe da folgende Aufgabe gestellt bekommen bei der ich mir schon einige Gedanken gemacht habe, jedoch zu keinem ordentlichen Lösungsweg gekommen bin und auch keinen richtigen Ansatz habe ich mir erschlossen.

Es geht um Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Ich werfe ein 20 Cent Stück auf ein Quadrat mit der Kantenlänge 8cm welches in 4 kleine Quadrate mit jeweils einer Kantenlänge von 4cm aufgeteilt ist.
Nun soll der Wurf wiederholt werden wenn der Mittelpunkt der Münze außerhalb des großen Quadrates liegt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nun die Münze genau in die "Mitte" von einem der 4 kleinen Quadrate zu bringen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen und evtl einige Lösungsansätze oder sogar Lösungen zu vermitteln.
Vielen Dank im Vorraus!

Meine Ideen:
Keine brauchbaren Ansätze. ( evtl. über Fläche der Münze aber nicht gegeben. ?)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sieht nach einer Fangfrage aus.

Den Mittelpunkt der Münze mathematisch zufällig auf einen anderen Punkt zu platzieren ist wohl unmöglich. Deshalb p=0

Es gibt aber durchaus bei richtiger Dimensionierung Wahrscheinlichkeiten grösser Null.
Man spricht dann von geometrischen Wahrscheinlichkeiten.
MathematikIstGut Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich versteh jetzt nicht ganz warum die Wahrscheinlichkeit 0 ist bzw. was du mit mathematisch zufällig meinst und was hat das mit der Dimensionierung auf sich, könntest du das evtl. noch erläutern bitte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deiner Beschreibung nach muss man entnehmen, dass der Auftreffort der Münzenmitte stetig verteilt ist auf der Quadratfläche. Und die Wahrscheinlichkeit, dass dann ein einziger Punkt getroffen wird, ist bei so einer stetigen Verteilung nun mal gleich Null.

Kann natürlich sein, dass du dich bei

Zitat:
Original von MatheIstToll
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit nun die Münze genau in die "Mitte" von einem der 4 kleinen Quadrate zu bringen?

einfach sehr unpräzise ausgedrückt hast. Vielleicht führst du das mal näher aus, was "genau in der Mitte" für dich bedeutet!
MathematikIstGut Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja ich hab das jetzt so verstanden das der Mittelpunkt des Kreises genauf auf dem "Mittelpunkt" des Quadrates also zu jeder Ecke den selben Abstand hat.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall kann man die Antworten von Dopap und HAL 9000 nur bestätigen: Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 0.
 
 
MathematikIstGut Auf diesen Beitrag antworten »

Evtl. habe ich ja auch die Aufgabenstellung falsch verstanden? Was wäre denn die Wahrscheinlichkeit wenn die Münze nur komplett in einem der vier Quadrate landen soll ohne das ein stück der Münze über ein Quadrat hinaus geht? Wäre das dann zu berechnen?

Mein Ansatz nach der Aufgabenstellung:

Alle "möglichen Mittelpunkte" bilden ein kleines Quadrat in der Mitte des kleinen Quadrates in Abhängigkeit vom Radius r der Münze:

(4-2r)²/16cm²=1-r+(1/4)r^2
Das würde bedeuten für den Radius r=2 wäre P(r) = 0 ? und je kleiner die Münze desto größer die Chance da lim P(r) = 1 für r-->0

Wäre das logisch bzw. ist das der richtige Weg bei der Aufgabenstellung?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MathematikIstGut
Evtl. habe ich ja auch die Aufgabenstellung falsch verstanden?

Es wäre extrem hilfreich (gewesen), wenn du diese Aufgabenstellung hier wortgetreu wiedergegeben hättest. Ich kann nur soviel sagen wie, dass es eine Reihe ähnlicher Problemstellungen gibt in der Interpretation, auf die du nunmehr zuletzt umgeschwenkt bist.
MathematikIstGut Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ich werde es mir merken, zukünftig die Aufgaben wortgetreu wiederzugeben, das war mein Fehler.

Doch wie wäre nun die Lösung für das Problem ,wenn die Aufgabenstellung so lautet,dass die komplette Münze in einen dieser kleinen Quadrate landen muss?
Karhunen Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, also wenn wir uns das Quadrat so vorstellen, dass unten links der Nullpunkt eines
Koordinatensystemes ist, dann konstruieren wir zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y.
Dabei gibt (wie zu erwarten) X den Abstand unseres getroffenen Punktes P nach rechts und Y
den Abstand nach oben (jeweils vom Nullpunkt aus gesehen) an.

Da P im Quadrat gleichverteilt ist, sind auch X und Y gleichverteilt, allerdings im Intervall [0,8].
Die Wahrscheinlichkeit, das kleine Quadrat (4cm Seitenlänge) "unten links" zu treffen, ist also
die Wahrscheinlichkeit, dass X aus dem Intervall [r, 4-r] und Y aus dem Intervall [r, 4-r] ist.

Nun hast du noch die Unabhängigkeit beider Zufallsvariablen sowie die Gleichverteilung. Damit
solltest du die Wahrscheinlichkeiten berechnen können.
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