Lagrange mit Logarithmen

17.05.2011, 21:06

Umen

Lagrange mit Logarithmen

Meine Frage:
Folgendes Problem:

Eine Person hat die Nutzenfunktion: u(x1, x2) = ln(x1) + 3ln(x2)

Aufgabe: Bestimmen Sie die Nachfrage der Person für beliebige Preise p1 und p2 sowie ein beliebiges Budget m > 0 mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens.

Meine Ideen:
Ich habe also die Lagrange-Funktion aufgestellt:

L = ln(x1) + 3ln(x2) + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (m - p1x1 - p2x2)

Daraus ergeben sich die Ableitungen erster Ordnung:

(i) nach x1: 3/x2 - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *p1 = 0
(ii) nach x2: 1/x1 - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *p2 = 0
(iii) nach $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ : m - p1x1 - p2x2 = 0

Jedoch komme ich hier nicht weiter. Ich muss ja x1* und x2* sowie $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ * ausrechnen. Komme aber beim umstellen aufgrund der Ableitungen von Logarithmen komplett raus und konnte im Internet auch keine Hilfe finden!

Kann mir jemand weiterhelfen?

17.05.2011, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Umen
(i) nach x1: 3/x2 - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *p1 = 0

Falsch: Den ersten Summanden hast du nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ , den zweiten nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ abgeleitet??? Richtig ist hier

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_1} - \lambda p_1 = 0 \qquad (1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Umen
(ii) nach x2: 1/x1 - $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ *p2 = 0

Konsequenterweise hast du diesen Fehler hier fortgesetzt, korrigiert ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{x_2} - \lambda p_2 = 0 \qquad (2) \end{eqnarray*}$ .

Die dritte Gleichung

$\begin{eqnarray*} m - p_1x_1 - p_2x_2 = 0 \qquad (3) \end{eqnarray*}$

ist richtig.

Zur Lösung: Gleichung (1) nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ umstellen, Gleichung (2) nach $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ . Beide Ergebnisse in (3) einsetzen und die durch Umstellung entstehende Gleichung bzgl. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ lösen...

17.05.2011, 22:18

Umen

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Hey, danke! Super Hilfe hier! Habs ewig nicht mehr gemacht :-( Ich verstehs scheinbar nicht so ganz...
Gebe mir wirklich mühe :-/

Also:

Wenn ich das von dir besagte tue, komme ich auf

x1 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p1

und

x2 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p2

und dieses setze ich dann in (3) ein was mir

m - p1* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p1 - p2* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p2 = 0

Dort komme ich aber nicht weiter. Wie finde ich so x1* und x2* raus, sprich die Nachfrage ?

Danke für die Hilfe! smile

17.05.2011, 22:20

Umen

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Sorry, vertippt:

x2 = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p2

entsprechend

m - p1* $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p1 - p2* $\begin{eqnarray*} \frac{3}{\lambda} \end{eqnarray*}$ /p2 = 0

17.05.2011, 23:17

HAL 9000

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Vielleicht hättest du einfach mal meine Beschreibung zuende lesen sollen:

Zitat:

Original von HAL 9000
Beide Ergebnisse in (3) einsetzen und die durch Umstellung entstehende Gleichung bzgl. $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ lösen...

... und mit dem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Wert kriegst du dann auch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

17.05.2011, 23:40

Umen

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Ich glaube ich habs raus! Magst du nochma gucken ob ich nun richtig liege?

Riesen Dank für die Hilfe!

nach Umstellung ergibt sich bei mir

$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{4}{m} \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich aus

(1) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x1} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{4}{m} \end{eqnarray*}$ * p1 = 0

und damit x1 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{m}{p1} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \frac{4}{m} \end{eqnarray*}$ * p2 = 0

und damit x2 = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \frac{m}{p2} \end{eqnarray*}$

Für mich ergab es Sinn! Big Laugh

17.05.2011, 23:47

HAL 9000

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Ja, so war's gemeint. Freude

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