Minimal- und Annullatorpolynom

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18.05.2011, 10:58	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimal- und Annullatorpolynom Meine Frage: ich habe folgende Aufgabe zu lösen Meine Ideen: Leider habe ich keine Ahnung, wie ich anfangen soll.
18.05.2011, 15:10	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Minimal- und Annullatorpolynom Yeah! Screenshot der Aufgabenstellung und "keine Ahnung, wie ich anfangen soll". Du hast das Geheimnis des Matheboards entdeckt und weißt, wie man die Helfer am besten motiviert. Zu a): Zeige, dass das Polynom die gewünschte Annullatoreigenschaft $\begin{eqnarray} P(F)=0 \end{eqnarray}$ hat. Dann folgere aus der linearen Unabhängigkeit der gegebenen Vektoren, dass kein Polynom kleineren Grades diese Eigenschaft haben kann. Gruß, Reksilat.
18.05.2011, 19:19	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, das habe ich verstanden. Was ich noch nicht verstanden habe, ist Aufgabenteil d). Wie ich das Minimalpolynom für eine Matrix berechne, weiß ich, aber wie mache ich das, wenn ich diese drei Vektoren gegeben habe für die ich das Minimalpolynom berechnen soll?
18.05.2011, 19:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Benutze Teil a). Da geht es ja um das Annullatorpolynom eines einzelnen Vektors $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ . Nun ist dort von der linear unabhängigen Menge $\begin{eqnarray} \{v,Fv,F^2v,...\} \end{eqnarray}$ die Rede und somit ist ein erster Schritt, einfach mal ein paar Vektoren dieser Reihe zu bestimmen und zu schauen, ab wann die Menge linear abhängig wird. Gruß, Reksilat.
19.05.2011, 09:01	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht direkt zur Aufgabe: Schön, dass dieser Algorithmus hier mal auftaucht. Er ist der Grund dafür, dass man in der LA1 eigentlich kein charakteristisches Polynom braucht und in der Tat habe ich "damals" in der LA1 das char. Pol. erst ganz am Ende kennengelernt. Das Minimalpolynom ist in seiner Funktion ja auch erstmal viel nachvollziehbarer und anschaulicher. Also wollte ich nur mal loswerden, dass ich ein Fan dieses Algorithmus und der Lehrmethode bin, die das min. Pol. vor dem char. Pol. vorstellt.
19.05.2011, 09:19	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich habe einfach ein Brett vor dem Kopf bei dieser Aufgabe. Ich setzte also meinen ersten Vektor v1=(1,2,2,1,2)^T = v, aber wie komme ich dann auf mein F(v) bzw. F(v)^2 usw.?
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19.05.2011, 10:55	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist in der Tat etwas verwirrend formuliert, aber ich nehme stark an, dass A hier die Darstellungsmatrix von F bezüglich der Standardbasis ist, also $\begin{eqnarray} F(v)=Av \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} F^2(v)=A^2v \end{eqnarray}$ usw. Die weitere Berechnung erfolgt somit per Matrixmultiplikation.
19.05.2011, 11:17	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so, okay, das verstehe ich. Danke. Aber eine Frage noch. Bleibt mein v immer mein v1 aus der Aufgabenstellung, mit dem ich das F^k(v) ausrechne?
19.05.2011, 11:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst da für jeden der drei Vektoren diese Prozedur durchziehen, also erst für $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,Av_1,A^2v_1,A^3v_1,... \end{eqnarray}$ betrachten und dann für $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ das gleiche nochmal.
19.05.2011, 13:19	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe nun raus, dass für v1=(1,2,2,1,2) v und F(v) l.u. sind. würde ich F^2(v) hinzunehmen, wären sie l.a.. Nun muss ich dies doch wahrscheinlich in die Formel aus Aufgabenteil a) einsetzen, um mein Minimalpolynom zu erhalten. Oder? Aber was ist das t und was das Alpha?
19.05.2011, 13:27	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
für v2 habe ich ebenfalls raus, dass nur v2 und F(v) l.u. sind, bei v3 ist es nur der v3 alleine.
19.05.2011, 15:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreibe doch mal eine Linearkombination der Form $\begin{eqnarray} F^2(v_1)=\alpha_1F(v_1)+\alpha_0 v_1 \end{eqnarray}$ auf. So steht es doch in a); die $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ sind dann die Koeffizienten der Linearkombination. Damit findest Du dann auch Dein erstes Polynom $\begin{eqnarray} P_{F,v_1} \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ist einfach nur die Unbestimmte des Polynoms. Du kannst es auch $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nennen.
19.05.2011, 19:52	Kathy20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es raus! Es war eine schwierige Geburt, aber dafür habe ich das Annullatorpolynom und das Minimalpolynom nun verstanden. Vielen, vielen dank!!!!!!!

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