Approximationssatz

18.05.2011, 12:03

martha.1981

Approximationssatz

Hallööö

ich habe folgenden Satz zu zeigen:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle\cdot ,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ .
Ist noch $\begin{eqnarray*} (X,\langle\cdot ,\cdot\rangle_X)=(\mathbb{K}^n,\langle\cdot ,\cdot\rangle), M\subset X \end{eqnarray*}$ eine nichtleere, abgeschlossene Menge und $\begin{eqnarray*} z_0\in X \end{eqnarray*}$ , dann ex. ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Vert x-z_0\Vert = \operatorname{dist}(z_0,M) \end{eqnarray*}$ .

Bei uns ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{dist}(z_0,M):=\inf\{\Vert y-z_0\Vert : y\in M\} \end{eqnarray*}$

Ansatz: Erstmal denke ich $\begin{eqnarray*} (X,\langle\cdot ,\cdot\rangle_X)=(\mathbb{K}^n,\langle\cdot ,\cdot\rangle) \end{eqnarray*}$ ist Hilbertraum, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ ist vollständiger VR mit Skalarprodukt.

Richtig? Wo mich das hinführt, weiß ich noch nicht.

o.E. betrachte $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Dann ist dist(0,M)= $\begin{eqnarray*} \inf\{\Vert y\Vert : y\in M\}\in [0,+\infty) \end{eqnarray*}$

Falls dist(0,M)=0. Sei $\begin{eqnarray*} (y_n)_n \end{eqnarray*}$ in M mit Grenzwert dist(0,M)=0.
Dann ist 0 insb. HP und da M abgeschlossen ist $\begin{eqnarray*} 0\in M \end{eqnarray*}$ . Zudem ist $\begin{eqnarray*} \Vert dist(0,M) - z_0\Vert = \Vert 0 - 0\Vert = 0 = dist(0,M) \end{eqnarray*}$ . Für dist(0,M)=0 folgt die Behauptung.

Für den Fall dist(0,M)>0 habe ich derzeit nur den Hilbertraum als Ansatz. Kann mir jemand weiterhelfen?

vg,

m

18.05.2011, 12:14

gonnabphd

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Hi,

Das Skalarprodukt ist nur zur Verwirrung da - konzentrier dich eher auf die Norm.

Sei $\begin{eqnarray*} r = d(z_0, M) \end{eqnarray*}$ , welche Eigenschaften hat beispielsweise die Menge $\begin{eqnarray*} K := M \cap \overline{ B_{2r}(z_0)} \end{eqnarray*}$ so?

Nun könntest du dir mal die Funktion $\begin{eqnarray*} f: K \to \mathbb R, \; f(x) = d(z_0,x) \end{eqnarray*}$ anschauen.

Grüssle Wink

18.05.2011, 14:31

martha.1981

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Hm,

ich kann's nicht genau begründen, aber ich glaube K ist kompakt. Dass K abgeschlossen und beschränkt ist, reicht ja in dem fall nicht.

Jedenfalls wenn K tatsäclich kompakt ist, nimmt f ein Minimum über K an.

Damit existiert dann zumindest in K ein x mit $\begin{eqnarray*} \Vert x-z_0 \Vert=\min_{x\in K} f(x) \end{eqnarray*}$

Dann wäre noch z.Z. dass $\begin{eqnarray*} \min_{x\in K} f(x) = dist(z_0, M) \end{eqnarray*}$

Was der Fall ist, die Elemente in M\K ausserhalb der Kugel K um z_0 liegen und damit der Abstand zu z_0 immer größer gleich dem er Elemente in K zu z_0 ist.

Hast du dir das so gedacht?

m

19.05.2011, 06:02

gonnabphd

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Ja, so war das gedacht.

Zitat:

Dass K abgeschlossen und beschränkt ist, reicht ja in dem fall nicht.

Verstehe nicht, weshalb das nicht reicht? (Die Metrik kommt von einer Norm!)

Wink

19.05.2011, 08:17

martha.1981

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Subba guuut. smile

Danke dir.