Poissonverteilung - Seite 2

27.08.2011, 17:40

Gast11022013

Hallo, Huggy!

Vielen Dank für Deine Berichtigung zu (iii)!

Kurvendiskussionen waren noch nie so ganz meine Stärke, aber ich habe Deine Korrekturen verstanden.

PS. Ich nehme damit natürlich zurück, dass Du Dich bei (ii) oben verschrieben hättest. Im Gegenteil habe ich nicht richtig nachgedacht.

Wink

27.08.2011, 17:51

Huggy

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Zitat:

Original von Dennis2010
Kurvendiskussionen waren noch nie so ganz meine Stärke,

Wenn man Analysis 3 macht, muss man das nicht mehr wissen. Big Laugh

27.08.2011, 19:53

Gast11022013

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Ironie pur?

Oder ernst gemeint?

13.09.2011, 16:20

Gast11022013

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RE: Poissonverteilung
Hallo! Ich habe mir diesen Beitrag nochmal angesehen und zu (b) die alternative Möglichkeit via Taylorreihen überlegt. Dieser Weg erscheint mir im Ganzen doch einfacher.

Ich schreibe ihn mal hin:

$\begin{eqnarray*} P\left(X=\operatorname{gerade}\right)=P(X=2k)=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich mir mal die Taylorreihen (bzw. Maclaurin-Reihen) für $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{\lambda} \end{eqnarray*}$ aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda}=1-\lambda+\frac{\lambda^2}{2!}-\frac{\lambda^3}{3!}+\hdots-\hdots+\hdots-\hdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\lambda}=1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2!}+\frac{\lambda^3}{3!}+\hdots \end{eqnarray*}$

Daraus sieht man dann, daß

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{2k}}{(2k)!}=1+\frac{\lambda^2}{2!}+\frac{\lambda^4}{4!}+\hdots=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\lambda}+e^{-\lambda}\right) \end{eqnarray*}$ gilt.

Das für die Summe oben in die Gleichung eingesetzt ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda}\cdot\frac{1}{2}\left(e^{\lambda}+e^{-\lambda}\right)=\frac{1}{2}\left(1+e^{-2\lambda}\right) \end{eqnarray*}$

Das sollte man bei (b) ja zeigen.

Ich weiß gar nicht, warum ich diesen Hinweis von Huggy gar nicht verstanden hatte. Naja, manchmal (oder auch öfter) hat man wohl ein Brett vorm Kopf.

Wink

13.09.2011, 17:48

Gast11022013

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Zitat:

Original von Huggy

Bei k = 0 hat die Ableitung gar keine Nullstelle. Das Maximum $\begin{eqnarray*} \lambda = k = 0 \end{eqnarray*}$ ist hier ein Randmaximum.

Aber Lambda kann doch gar nicht den Wert 0 annehmen, weil doch bei einer Poissonverteilung der Parameter größer als Null ist.

Oder anders gefragt: Wie ist das mit Randextrema bei offenen und halbseitig offenen Intervallen? Ist da die Sprechweise, daß hier bei $\begin{eqnarray*} \lambda=k=0 \end{eqnarray*}$ ein Randmaximum vorliegt?

[Ich kenne das nur für kompakte Intervalle, wo dann der Wert auch wirklich zum Intervall dazugehört.]

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