Messbarkeit von Funktionen

18.05.2011, 13:35	BenjiO	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit von Funktionen Meine Frage: Hi, ich hab ein kleines Verständnisproblem. Ich weiß wie Messbarkeit definiert ist, kann es mir aber anschaulich nicht vorstellen. Es soll in etwa eine Stetigkeitsvoraussetzung für das Lebesgue-Integral sein. Der Zusammenhang zu topologischen Räumen ist mir auch (irgendwie) klar. Ich weiß, dass man das Integral messbarer Funktionen durch Integrale von Elementarfunktionen annähern kann. Wozu brauch ich aber dafür konkret die Messbarkeit? Kann mir das bitte jemand anschaulich erklären? Meine Ideen: Vielen Dank schon einmal!
18.05.2011, 14:35	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Motivation kommt vom Integralbegriff: für eine nichtnegative Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ definiert man $\begin{eqnarray} \int f = \lim_{n \to \infty} \int f_n \end{eqnarray}$ , wenn man eine Folge $\begin{eqnarray} (f_n)_n \end{eqnarray}$ einfacher Funktionen hat, die punktweise monoton gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert. Das ist sinnvoll, weil man damit die Limesvertauschung im Falle monotoner Konvergenz erzwingt. Die Annahme, dass eine solche Folge existiert, ist aber bereits Äquivalent zur Messbarkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Edit: Möglicherweise findest Du hier (mit Lizenz) ein Integralkonzept für nicht-messbare Funktionen. Aber mit solchen Verallgemeinerungen kenne ich mich leider nicht aus.
20.05.2011, 12:37	Benji-Okiwara	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für die Antworten. Ich hatte die Frage auch bei Stochastik eingestellt und hab da nochmal eine Frage gepostet. Es wäre nett wenn ihr mir nochmal helfen könntet: Messbarkeit von Funktionen Ich danke euch vielmals.

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