f(b)

18.05.2011, 15:09

alfons111

Beweis: f Injektiv <=> f(a / b) = f(a) / f(b)

Meine Frage:
Hi Forum,
folgenden Beweis hab ich zu lösen:

Seien X; Y nicht leere Mengen und f: X -> Y eine Abbildung.
Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subseteq X \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} f(A) \colon= \lbrace f(a)|a \in A\rbrace \subseteq Y \end{eqnarray*}$ das Bild von A unter f. (Frage dazu: Wie schreibt man "per Definition in LaTeX?)

Beweisen Sie:
f injektiv <=> $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)= f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe mir überlegt, dass ich die Definition von injektiv benötige, also:
$\begin{eqnarray*} x_1 \ne x_2 => f(x_1) \ne f(x_2) \end{eqnarray*}$

Ich finde jedoch keinen Ansatz für den Beweis. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Gruß,
alfons

18.05.2011, 16:10

Leopold

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Links und rechts stehen Mengen. Und Gleichheit von Mengen

$\begin{eqnarray*} X = Y \end{eqnarray*}$

beweist man, indem man zeigt:

1. Für jedes $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x \in Y \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} X \subseteq Y \end{eqnarray*}$ bedeutet.

2. Für jedes $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ , was $\begin{eqnarray*} Y \subseteq X \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Und aus $\begin{eqnarray*} X \subseteq Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \subseteq X \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} X = Y \end{eqnarray*}$

Im konkreten Fall wirst du feststellen, daß man zum Beweis von $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ die Injektivität gar nicht braucht. Das gilt immer. Interessanter ist daher der andere Teil: $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ .

18.05.2011, 16:30

alfons111

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Zitat:

Original von Leopold
Im konkreten Fall wirst du feststellen, daß man zum Beweis von $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ die Injektivität gar nicht braucht.

Ich komm hier schon nicht weiter. Wie kann ich denn das beweisen? bzw. Wie fang ich da an? Ich habe mir überlegt: $\begin{eqnarray*} x \in f(A\supseteq B) \end{eqnarray*}$

Aber wie komm ich jetzt auf die Behauptung?

18.05.2011, 17:22

Leopold

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Zitat:

Original von alfons111
$\begin{eqnarray*} x \in f(A\supseteq B) \end{eqnarray*}$

Was soll dies bedeuten? Ich hoffe, das ist nur ein Schreibfehler. Denn so, wie es da steht, ist es einfach Unsinn.

Jetzt zum Beweis von $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ . Wie schon gesagt: das gilt immer.
Wir wählen uns ein, sagen wir, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in der Menge links und weisen nach, daß es auch in der Menge rechts liegt. Wie sehen nun die Elemente links aus? Es sind nach Definition von $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ Funktionswerte von Elementen, und zwar von Elementen der Menge $\begin{eqnarray*} A \cap B \end{eqnarray*}$ . Also gilt

$\begin{eqnarray*} y = f(x) \ \ \text{mit einem geeigneten} \ \ x \in A \cap B \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Schnitt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ liegt, liegt es insbesondere in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Daher ist $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Bild eines Elementes von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , also ein Element von $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ . Dieselbe Argumentation mit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zeigt: $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} f(B) \end{eqnarray*}$ . Fassen wir zusammen:

$\begin{eqnarray*} y \in f(A) \ \ \text{und} \ \ y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in beiden Mengen liegt, liegt es in ihrem Schnitt: $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$

Und das war zu beweisen.

Jetzt mußt du noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} f \ \ \text{injektiv} \ \ \Leftrightarrow \ \ f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Beginne mit $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ . Setze also die Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ voraus und weise damit die Mengeninklusion nach. Später mußt du dann auch noch $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ zeigen.

Übrigens: Die Injektivität kann man auch mit der Kontraposition von

x $\begin{eqnarray*} _1 \neq x_2 \ \ \Rightarrow \ \ f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$

charakterisieren, also mit

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \ \Rightarrow \ \ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

18.05.2011, 20:16

alfons111

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Ich habs jetzt mal wie folgt bewiesen:

$\begin{eqnarray*} f(x) \in [f(A) \cap f(B) ] \underbrace \Rightarrow_{Ausnutzung der Injektivitaet} x\in A \land x \in B \Rightarrow x\in A \land B \Rightarrow f(x) \in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Oben hab ich mir ausversehen verschrieben.
Danke schon mal für deine Mühen smile

19.05.2011, 10:30

Leopold

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Mathematische Beweise bestehen nicht nur aus mathematischen Zeichen, sondern vor allem aus Worten der deutschen Sprache, die diese Zeichen in einen Zusammenhang zueinander setzen und die verschiedenen Aussagen zu einer überzeugenden Argumentation verbinden. Ich habe dir oben vorgemacht, mit leicht redundanter Sprache, wie das geht.
Es ist nicht so, als ob in deiner Zeichenfolge nichts richtig wäre, dennoch bleibt das letztlich unverständlich, weil du keine Geschichte dazu erzählst.

Ich beginne einmal mit der Argumentation.

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Sei dazu $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) = y \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b) = y \end{eqnarray*}$ .

...

Jetzt mache du weiter. Und vergiß nicht: Du willst uns etwas mitteilen. Dann nütze auch aus, daß der liebe Gott dich mit Sprache begabt hat.

20.05.2011, 13:17

alfons111

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Zitat:

Original von Leopold

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist injektiv.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Sei dazu $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(a) = y \end{eqnarray*}$ .
Wegen $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(b) = y \end{eqnarray*}$ .

Ich versuchs mal weiter:

... Wegen der Injektivität gilt: $\begin{eqnarray*} f(x_1 ) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

Daher gilt mit $\begin{eqnarray*} f(a) = y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) = y \Rightarrow a = b =: x \end{eqnarray*}$

Da x in A liegt und x in B liegt, liegt es in A und B.

Damit gilt sicher: $\begin{eqnarray*} f(x) \subseteq f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Weiter komme ich nicht, wie kann ich jetzt die Behauptung beweisen?

23.05.2011, 10:38

alfons111b

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Bitte um Antwort. Jetzt hast du mir, Leopold, schon so viel geholfen. Magst du nicht noch weiter gehen? Wenn nicht, kein Problem

23.05.2011, 14:10

Leopold

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Zitat:

Original von alfons111
Damit gilt sicher: $\begin{eqnarray*} f(x) \subseteq f(A\cap B) \end{eqnarray*}$

Nun ja, nicht ganz. Zunächst ist ja $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ unser altes $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ . Aber was muß dann für ein Relationszeichen folgen?

Und wenn du mit diesem Teil fertig bist, mußt du noch das Umgekehrte zeigen:

Aus $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \subseteq f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv.

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