Transformation

18.05.2011, 17:17	Centauri	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation Hi, ich habe eine Aufgabe, aber ich weiß nicht mal was ich mir darunter vorzustellen habe. Also: "Sei $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ ein Einheitsvektor des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und T die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} T: \mathbb R^3 -> \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{v} -> \vec{n} \times \vec{v} \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie $\begin{eqnarray} D(\vec{n}, \phi) \cdot \vec{v} := exp(\phi T) \cdot \vec{v}:= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{\phi^n}{n!}T^n \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} T^n \end{eqnarray}$ die n-fache Anwendung von T meint und $\begin{eqnarray} T^0 \end{eqnarray}$ die identische Abbildung." Mein Problem besteht jetzt darin, dass ich nicht weiß, was diese Formel eigentlich aussagt und was ich berechnen soll. Vielleicht kann mir ja einer von euch weiterhelfen
18.05.2011, 18:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ eine reelle Größe ist, die einen Winkel repräsentiert. Wenn ich das richtig sehe, dann gilt mit $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ als der identischen Abbildung: $\begin{eqnarray} \exp(\varphi T) = I + \left( \sin \varphi \right) T + \left( 1 - \cos \varphi \right) T^2 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ die Linksmultiplikation mit $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ im Sinne des Kreuzproduktes bedeutet, ist $\begin{eqnarray} T^k \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -fache Linksmultiplikation mit $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ , zum Beispiel: $\begin{eqnarray} T^4 \cdot \vec{v} = \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \left( \vec{n} \times \vec{v} \right) \right) \right) \end{eqnarray}$ Der Malpunkt bedeutet hier einfach: Anwenden der Abbildung, also $\begin{eqnarray} T^4 \cdot \vec{v} = T^4 \left( \vec{v} \right) \end{eqnarray}$ Zunächst zeigt man, daß die Folge der $\begin{eqnarray} T^k, \, k \geq 0 \end{eqnarray}$ periodisch ist: $\begin{eqnarray} I, T, T^2, -T, -T^2, T, T^2, -T, -T^2,\ldots \end{eqnarray}$ in Formeln gegossen: $\begin{eqnarray} T^{k+4} = T^k \ \ \mbox{für} \ \ k \geq 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T^{k+2} = -T^k \ \ \mbox{für} \ \ k \geq 1 \end{eqnarray}$ Beginne damit, für $\begin{eqnarray} T^2 \end{eqnarray}$ einen Term aufzustellen. Verwende die Graßmann-Identität sowie die Tatsache, daß $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ normiert ist, um $\begin{eqnarray} T^2 \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ als einfache Linearkombination von $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ zu schreiben. Nimm dieses Ergebnis, um danach $\begin{eqnarray} T^3 \cdot \vec{v} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Übrigens: Es ist nicht gerade besonders glücklich, für den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ und den Summationsindex $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ zu schreiben.

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