Extremwert Volumen

18.05.2011, 17:41

lost1994

Extremwert Volumen

Meine Frage:
Hey, habe ein Problem mit meiner Mahtehausaufgabe. Sitze hier jetzt schon 3 Stunden dran und komme einfach nicht weiter, bräuchte mal einen kleinen Tipp.

Also erstmal der Originaltext aus dem Buch:
"Die Deutsche Post hat für den Versand von Päckchen in Rollenform in das Ausland Bedingungen für Länge und Durchmesser festgelegt. Bestimme das rollenförmige Päckchen, das das größtmögliche Volumen hat.

ROLLENFORM:
Mindestmaße: Länge 15cm, Durchmesser 5cm
Höchstmaße: Länge + zweifacher Durchmesser 104cm, Länge 90cm."

Schon jetzt stellt sich für mich, aufgrund der ungenauen Formulierung, die Frage, ob Länge + 2 * Durchmesser GENAU 104 cm sein sollen, oder kleiner gleich 104 cm. Im folgenden habe ich mit genau 104cm gerechnet.

Meine Ideen:
Alsoo ich schreib mal einfach meine Gedankengänge auf Big Laugh

Als erstes habe ich mir überlegt, wie man das Volumen des rollenförmigen Päckchens berechnet. Dazu braucht man den Flächeninhalt ( A = Pi * r² ) und die Höhe, die in dieser Aufgabe gleich der länge des Päckchens ist.
Daraus folgt: V = (Pi/4 * d²) * l
Wobei d der Durchmesser und l die Länge ist.

Jetzt habe ich das nächste Problem: In der Gleichung sind 3 Variablen, mir fiel aber nur eine andere Gleichung ein, um sie gleich zusetzen. Die andere Gleichung lautet:
l + 2*d = 104
Das ist ja der Maximalwert der in der Aufgabe erwähnt wurde.

Die 2. Gleichung habe ich nach l aufgelöst und in die 1. Gleichung eingesetzt, dann habe ich nach dem Kürzen herausbekommen:
V = 26*Pi*d² - 0,5*Pi*d³

Diese Funktion hab ich nun abgeleitet und die folgende Funktion herausbekommen:
V' = 52*Pi*d - 1,5*Pi*d²

Diese habe ich umgestellt um die PQ-Formel anwenden zukönnen, was allerdings meines Erachtens sinnlos ist, da kein Q vorhanden ist.

Irgendwie stehe ich grade auf dem Schlauch, ich weiß nicht wie ich das ausrechnen soll und irgendwas hab ich da verdammt falsch gemacht.

Ich hoffe mir kann jemand nen Tipp geben, wie man erfolgreich zur Lösung kommen kann.

MfG, lost1994

18.05.2011, 17:57

(sic)maggot

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Es ist ganz einfach. Schau dir mal die folgende Zeile an:

$\begin{eqnarray*} x^2+3x=0 \end{eqnarray*}$

Wie löst man jetzt nach x auf?

Ohne Lösungsformel!

Es ist nicht alles falsch, nur ein kleiner Denkfehler.

Grüße,
Joey.

18.05.2011, 18:03

lost1994

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Zitat:

Original von (sic)maggot
Es ist ganz einfach. Schau dir mal die folgende Zeile an:

$\begin{eqnarray*} x^2+3x=0 \end{eqnarray*}$

Wie löst man jetzt nach x auf?

Ich würde mal sagen:
$\begin{eqnarray*} x^2+3x=0 | : x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x + 3 = 0 | -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = -3 \end{eqnarray*}$

Ich versuch das mal auf das Ergebnis von mir zu übertragen, danke smile

18.05.2011, 18:08

(sic)maggot

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Kein Problem smile

Nur musst du aufpassen beim teilen durch x! (Wenn x nähmlich den Wert 0 annehmen darf hättest du einen undefinierten Ausdruck)

Besser wäre es auszuklammern:

$\begin{eqnarray*} x(x+3)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0;x_2=-3; \end{eqnarray*}$

Grüße,
Joey.

18.05.2011, 18:12

lost1994

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Ja, habe ich eben auch gesehen, nachdem ich bemerkt hab, dass dort ein + steht Big Laugh

Habe jetzt für den Durchmesser herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} d = 104/3 \end{eqnarray*}$

Ich setze das dann mal ein und schau weiter.

Hmpf, irgendwie find ich das grad extrem kompliziert, obwohl ich Mathe sonst als sehr logisch und einfach empfinde. Naja überraschen lassen.

18.05.2011, 18:15

(sic)maggot

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Du bist aber schon auf dem richtigen Weg. Augenzwinkern

Extremstellen findet man heraus indem man die Nullstellen der 1. Ableitung betrachtet und dann noch schaut ob es jetzt Maximal- oder Minimalstellen sind.

Grüße,
Joey.

18.05.2011, 18:44

lost1994

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Ich bekomms nicht raus..

als d hab ich 104/3 raus, als l 104.

Wenn ich die in die ursprüngliche Volumengleichung einsetze bekomme ich zwar das Volumen raus, aber ich glaube 30.626.825,48 cm³ sind ein bisschen viel..

18.05.2011, 20:47

(sic)maggot

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Ja, ich denke das 30 Kubikmeter eine ziemlich große Briefrolle ergibt.

Also was haben wir:

1. Nebenbedingung: Länge + zweifachen Kreisdurchmesser = 104
(Auf Einheiten verzichte ich erstmal bei meiner Rechnung)

$\begin{eqnarray*} l+2*d=104 \end{eqnarray*}$

2. Zylinderformel (aus der Formelsammlung, oder selbst überlegen)

$\begin{eqnarray*} V_Z=(r^2*pi)*l \end{eqnarray*}$

dies ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} V_Z=((d^2*pi)/4)*l \end{eqnarray*}$

3. Man stellt die Nebenbedingung so um das eine der Unbekannten entfällt.

Nachdem du die Zielfunktion gebildet hast, also diejenige Funktion die das Volumen in Abhängigkeit nur noch einer Variablen angibt kannst du ableiten und Extremwerte suchen.

Nun muss man allerdings, da f'(x) allein für das Argument x gilt neu definieren:

$\begin{eqnarray*} dV(d)/dd := V'(d) \end{eqnarray*}$

(Näheres dazu siehe: Differentialquotient)

Meine Lösung ist: 28 = d (Extremstelle)

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} 21*(28)^2*pi-1/2*(28)^3*pi = 5488pi = 17241 \end{eqnarray*}$

Da das Endergebnis (gerundet) in Kubikzentimetern angegeben ist sind das 17 Kubikdezimetern. Kommt hin. Solltest du es nicht hinbekommen kannst du ja nochmal posten.

Grüße,
Joey.

18.05.2011, 21:34

lost1994

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Okay, mein Problem liegt bei der Berechnung der Nullstelle. Ich schreib mal jeden Rechenschritt auf, den ich ab dem Ableiten getätigt habe. Ich sehe da irgendwie keinen Fehler :S

(Formel vor dem Ableiten)
$\begin{eqnarray*} f(x) = (Pi/4 * d²) * l \end{eqnarray*}$

Einsetzen von l
$\begin{eqnarray*} f(x) = (Pi/4 * d²) * (104 - 2d) \end{eqnarray*}$

Ausmultiplizieren
$\begin{eqnarray*} f(x) = 26*Pi*d² - 0,5*Pi*d³ \end{eqnarray*}$

Ableiten
$\begin{eqnarray*} f'(x) = 52*Pi*d - 1,5*Pi*d² \end{eqnarray*}$

0 setzen und Pi*d ausklammern
$\begin{eqnarray*} 0 = ( 52 - 1,5*d) * Pi * d \end{eqnarray*}$

Durch Pi*d teilen
$\begin{eqnarray*} 0 = 52 - 1,5*d \end{eqnarray*}$

1,5*d auf die andere Seite ordnen
$\begin{eqnarray*} 1,5*d = 52 \end{eqnarray*}$

Jetzt durch 1,5 teilen um d zu erhalten
$\begin{eqnarray*} d = 104/3 \end{eqnarray*}$

Kannst du mir sagen, wo ich den Fehler gemacht habe? Ich habs jetzt 4 mal gerechnet, ich komme da nicht auf 28 :S

Danke für deine Hilfe smile

18.05.2011, 21:55

(sic)maggot

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Kein Problem.
Übrigens habe ich im letzen Post einen Fehler und zwar bei dem $\begin{eqnarray*} 21*(d)^2*pi-1/2*(d)^3*pi \end{eqnarray*}$

muss natürlich

$\begin{eqnarray*} f(x) = 26*Pi*d² - 0,5*Pi*d³ \end{eqnarray*}$

heißen Big Laugh

Deine Rechenschritte sind schon richtig, du musst nur genauer formulieren und aufpassen, weil man sowas normalerweise sonst in der Schulaufgabe, oder wo immer angestrichen bekommen kann:

Zitat:

0 setzen und Pi*d ausklammern $\begin{eqnarray*} 0 = ( 52 - 1,5*d) * Pi * d \end{eqnarray*}$ Du musst normalerweiße angeben, das eine Lösung der Gleichung d = 0 ist, da bei d=0 die Ausgangsfunktion einen Tiefpunkt hat. Allerdings schreibt man, das dieser nicht in der Definitionsmenge liegt, und es so keine Extremstelle ist.

Durch Pi*d teilen $\begin{eqnarray*} 0 = 52 - 1,5*d \end{eqnarray*}$

1,5*d auf die andere Seite ordnen $\begin{eqnarray*} 1,5*d = 52 \end{eqnarray*}$

Jetzt durch 1,5 teilen um d zu erhalten $\begin{eqnarray*} d = 104/3 \end{eqnarray*}$

Diese Lösung ist richtig! Ich habe falsch gerechnet xD

Jedenfalls gibst du dann noch 2 Dinge an:

- V(d) auf dem ganzen Definitionsbereich stetig und differenzierbar (das heißt das keine Knicke vorhanden sind und es keine Sprüge gibt).

- d = 104/3 ist auch globale Maximalstelle im Definitionsbereich. Das heißt das es das absolute Maximum ist, es de facto keine Größere Rolle gibt.

Und das wars dann.

Grüße,
Joey.

P.S. Zum Weiterrechnen noch ein Hinweis: Du setzt diesen errechneten Maximalwert jetzt in die Zielfunktion ein.

$\begin{eqnarray*} V(104/3)= 32721 \end{eqnarray*}$

Das Ganze ist in cm hoch 3 und gerundet. --> 33 dm hoch 3 ist Maximales Volumen!

18.05.2011, 22:20

lost1994

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Okay, habs jetzt alles ausgerechnet, also Volumen, Durchmesser und die Länge.

Dankeschön für deine Hilfe, hätte ich sonst nicht geschafft smile

Morgen werd ichs mit Sicherheit vor der Klasse vorrechnen müssen, hab die Rechnung bislang als einziger Big Laugh

Wie gesagt: Dankeschön
und gute Nacht smile

19.05.2011, 19:05

(sic)maggot

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Kein Problem smile

Joey

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