Charakteristik in endlichen Körpern |
| 18.05.2011, 18:42 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Charakteristik in endlichen Körpern Hi! kaum ist das eine Übungsblatt besiegt, lauert auch schon das nächste auf der Kurs-Homepage 
(a) Welche Charakteristik hat der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Körper mit 3 Elementen? (b) Welche Charakteristik hat der bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Körper mit 4 Elementen? Meine Ideen: ok.. ich glaub festhalten kann man, dass der Körper mit 3 Elementen in jedem Fall endlich ist. Der Körper muss ja bezüglich der Multiplikation eine abelsche Gruppe sein( wobei die Trägermenge ohne die 0 betrachtet wird). Hier sind mir die Zusammenhänge nicht klar: Eine endliche multiplikative Gruppe ist doch eine Gruppe wie diese hier: Z*/nZ mit z.B n = 3. Hier betrachten wir ja nur 2 Elemente (nämlich 1 und 2) bezüglich der Addition das ganze noch mit 0. die Charakteristik ist jetzt in jedem Fall 3, denn 1+1+1 = 3 , sprich die Charakteristik des Körpers gleich der Ordnung des Körpers. (Ausserdem muss ich bei der Operation immer modulo n rechnen weil sonst nicht abgeschlossen?) Das scheint noch klar zu sein ( falls richtig ) Überhaupt nicht mehr klar ist mir das in einer Gruppe wie Z8: bezüglich Multiplikation schau ich mir dann nur noch {1,3,5} an ( weil die , die nicht teilerfremd zu 8 sind, kein inverses haben)? ..aber bezüglich Addition {0,...,7}? ...oder ist <Z8, +,*> kein körper, weil ich mir bezüglich der Multipikation doch die nicht teilerfremden Zahlen anschaue und es dann kein Inverses Element für 2, 4, 6 gibt? (b) wäre dann <Z4 , +,*> , wobei ich dann wieder bezüglich Z4* die teilerfremden Zahlen(1,3) von 4 betrachte? Aber trotzdem Charakteristik = 4? Würde mich freuen, wenn mir jemand was dazu sagen könnte. Grüsse |
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| 19.05.2011, 01:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was gibt es denn an Vorwissen? http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_%28Mathematik%29 Ich würde so argumentieren: |K|=3 => |(K,+)|=3, |(K,*)|=2. Die Isomorphietypen der additiven und multiplikativem Gruppe sind eindeutig festgelegt und es gilt mit Charakteristik 3. |K|=4 =2²=> |(K,+)|=4, |(K,*)|=3. Es gibt 2 Isomorphietypen der additiven Gruppe. Nun kann man mit beiden, da die Dimension noch recht klein ist ja mal prüfen, ob man einen Körper bekommt. Es sollte nur bei der kleinschen Vierergruppe klappen und die Charakteristik ist 2. Das war nun mal ein Schuss ins Blaue, hoffentlich keine Körperverletzung. 
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| 19.05.2011, 18:52 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
..ein blauer Fleck via Eisbein vielleicht
quote]Original von tigerbine Was gibt es denn an Vorwissen? http://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristik_%28Mathematik%29 Ich würde so argumentieren: |K|=3 => |(K,+)|=3, |(K,*)|=2. Die Isomorphietypen der additiven und multiplikativem Gruppe sind eindeutig festgelegt und es gilt mit Charakteristik 3. [/quote] Isomorphietyp? Höre ich leider zum ersten mal. Werd gleich mal schauen, was das sein könnte.. Aber dennoch.. K ist isomorph zu Z*/3Z ? ..was genau ist denn K und K hat auch nur 2 Elemente? und was ist denn F3 ? ..also Isomorphie zwischen K3+ und K3* kann ja eigentlich nicht herrschen.(?) |K|=4 =2²=> |(K,+)|=4, |(K,*)|=3. Es gibt 2 Isomorphietypen der additiven Gruppe. Nun kann man mit beiden, da die Dimension noch recht klein ist ja mal prüfen, ob man einen Körper bekommt. Es sollte nur bei der kleinschen Vierergruppe klappen und die Charakteristik ist 2. Das war nun mal ein Schuss ins Blaue, hoffentlich keine Körperverletzung.
[/quote]kleinsche Vierergruppe ist von anderen helfenden Menschen schonmal erwähnt worden, aber auch keinen blassen Schimmer. Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich eine Idee bekomme worum es geht? |
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| 19.05.2011, 19:01 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bin nun baff. Es war doch in der Aufgabe schon von "bis aus Isomorphie eindeutig" die Rede. Wenn ihr bei Körpern seid, so hatte ich die Gruppentheorie vorausgesetzt. F3 ist ein Restklassenkörper. Und die Gruppen bzgl + und * sind wohl nicht isomorph, sie sind ja gar nicht gleich mächtig [hier im endlichen Fall] Wir hatten da hier auch mal drüber gesprochen: "Körpergruppen" [ÜAB] Du solltest also erst mal alle unbekannten Worte in Ruhe nachschlagen. |
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| 19.05.2011, 19:08 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab gerade mal geschaut, was die kleinsche VIergruppe ist.. ° 1 a b ab 1 1 a b ab a a 1 ab b b b ab 1 a ab ab b a 1 da steht noch, dass sie ist isomorph zu Z8* ... |
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| 19.05.2011, 19:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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| 19.05.2011, 19:10 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab den post zu spät gesehen.. ja.. ich schau mal. |
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| 19.05.2011, 21:21 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, ich hab noch mal das netz, unsere skripte und die Mitschrift durchforscht.. die kleinsche Vierergruppe ist mal in abgewandelter Form ( also eine Gruppe mit drei Elementen 1, a, b ) ganz am Rande erwähnt worden. ich könnte mir vorstellen ,dass er darauf hinaus will. was ist denn mit "bis auf Isomorphie eindeutig" gemeint? das die besagten Isomorphietypen eindeutig sind? Was genau ist denn der Isomorphietyp von Z3+? Z3+ selbst? Mit Isomorphietypen von Z4+ meinst du dann ( wie schon erwähnt) die kleinsche 4er Gruppe und die Gruppe Z/2Z x Z/2Z ( auch noch nie gesehen ) ? Wie mache ich denn aus der kleinschen 4er Gruppe einen Körper? kann ich da einfach ein + einführen.. und mir dann überlegen, wie die Verknüpfungen aussehen? |
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| 19.05.2011, 22:37 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry muss ich korrigieren.. Die Gruppe nannte er Körper mit {0,1,a,b} |
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| 19.05.2011, 22:47 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
In welcher Vorlesung sitzt du? Die kleinsche Vierergruppe hat 4 Elemente. Von mir aus nenne sie 1,a,b,ab. Weißt du, was ein Isomorphismus ist?
Es gibt nen Film "Sie nannten ihn Mücke..." 
Dein Satz macht doch keinen Sinn. Gruppe nennt sich Körper... 
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| 19.05.2011, 23:10 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry. der besagte Körper war selbstverständlich anders definiert. sitz wohl schon etwas zu lange vor der Kiste.. ich meine zumindest zu wissen, was ein Isomorphismus ist: bijektive abbildung ber der h( a ° b) = h(a) ° h(b) (massiv zusammengefasst) aber wie muss ich "eindeutig bis auf isomorphie" denn auffassen? |
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| 19.05.2011, 23:18 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist das "wichtigste" Konzept in der Algebra. Wenn es zwischen 2 Gruppen einen Isomorphismus gibt, so sind sie strukturgleich. Es ist also egal, ob ich 1,a,ab oder e,P,Q,PQ schreibe. Die innere Struktur bleibt gleich. Es gibt vom Namen der Elemente sicher unendlich viele Gruppen der Ordnung 3. Würde man nun dazu aber Gruppentabellen malen, so würden die alle die gleiche Struktur aufweisen. Man kann also zu je 2 einen Isomorphismus formulieren. Es gibt, bis auf Isomorphie, nur eine Gruppe mit 3 Elementen. Man wählt gerne als Beispiel. |
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| 20.05.2011, 10:09 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das leuchtet ein. ich hab die kleinsche Vierergruppe jetzt mal analog zu dem, was wir in der vorlesung gemacht haben mal mit + und * versehen und die Multiplikation ergänzt. sieht jetzt so aus: + 0 q r s 0 0 q r s q q 0 s r r r s 0 q s s r q 0 * 0 q r s 0 0 0 0 0 q 0 q r s r 0 r s r s 0 s r s aus der (ursprünglichen) multiplikation hatten wir offensichtlich eine addition gemacht, und die ganze Sache bezüglich Multiplikation neu konsturiert. in dem fall fasse ich dann q als einselement auf -> 1+1 = 0 deswegen charakteristik =2. Es gibt, bis auf Isomorphie, nur eine Gruppe mit 3 Elementen. Man wählt gerne als Beispiel. will dir nicht auf den Geist gehen, aber das versteh ich nicht. isomorphie herrscht zwischen 2 Dingen. hier sprichst du jetzt nur von einem.. |
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| 20.05.2011, 12:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, ich rede allgemein von Gruppen mit drei Elementen.... Wo begründest du die Körpereigenschaft bei "kleinscher Vierergruppe"? Und schließt "zyklisch der Ordnung 4" aus? |
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| 20.05.2011, 14:58 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die Körpereigenschaften bezüglich der Multiplikation sind erfüllt (?). (Ich versteh nicht ganz worauf du hinaus willst) zyklisch der Ordnung 4.. in wie fern muss das denn noch erwähnt werden? |
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| 20.05.2011, 15:09 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur weil du eine Lösung gefunden hast, heißt das nicht, dass es nicht noch mehr gibt. |
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| 21.05.2011, 12:47 | Spass an Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
glaub ich aufs wort. In Anbetracht dessen, dass ich offensichtlich nur einen Mini-Einblick in den Bereich habe und mir auch nicht wirklich klar ist, wie ich mir einen Überblick verschaffen kann, um die Sache wirklich grundlegend beurteilen zu können, muss ich mich leider gezwungener Massen damit zufrieden geben.. ... vielen Dank in jedem Fall |
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| 21.05.2011, 15:58 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum? Du sollst nur noch nachrechnen, ob es mit der zyklischen Gruppe auch klappt oder nicht. Das ist hier nur Fleißarbeit. Und generell musst du das Gefühl trainieren: "Habe ich schon alles für die Aussage gezeigt?" Das ist Training und daher weiße ich halt auf den fehlenden Punkt hin.
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