Dichte, Eigenschaften fast-überall

18.05.2011, 19:01	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte, Eigenschaften fast-überall Eine hab ich noch Seien $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ Maße auf demselben meßbaren Raum $\begin{eqnarray} (\Omega, \mathcal(A)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi = \frac{d\nu}{d\mu} \end{eqnarray}$ . Man zeige: i) $\begin{eqnarray} \Phi > 0 \ \ \nu \end{eqnarray}$ -fast überall. Dazu habe ich mir überlegt: Sei $\begin{eqnarray} M:= \lbrace \omega \in \Omega: \Phi(\omega) =0 \rbrace \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \nu(M) = \int_M \Phi d\mu = \int_\Omega 1_M \Phi d\mu = \int_\Omega 0 d\mu = 0 \end{eqnarray}$ . Impliziert das jetzt die Messbarkeit von M oder darf ich so nicht folgern? ii) Gilt $\begin{eqnarray} \nu \le \mu \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} \Phi \le 1 \ \ \nu \end{eqnarray}$ -fast überall. Da bekomme ich einen Widerspruch mit $\begin{eqnarray} Q:= \lbrace \omega \in \Omega: \Phi(\omega) >1 \rbrace \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nu(Q) = \int_\Omega 1_Q \Phi d\mu > \int_\Omega 1_Q \cdot 1 d\mu = \mu(Q) \end{eqnarray}$ , also kann da was in meiner Argumentation nicht stimmen...
19.05.2011, 19:10	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte, Eigenschaften fast-überall Hallo, Also i) ist denk ich richtig. Zur (ii): Das passt auch, denn du nimmst ja an nu(Q) >0. Dann folgt daraus ein wiederspruch folglich muss nu(Q) = 0 sein und du bist fertig. Oder denk ich jetzt auch ganz falsch Schöne Grüße
19.05.2011, 19:21	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Wieso nehme ich $\begin{eqnarray} \nu(Q) >0 \end{eqnarray}$ an? Ich glaube einfach, dass ich die Abschätzung so nicht machen darf. Mir fällt aber auch nichts besseres ein...
20.05.2011, 00:01	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wäre \nu(Q) = 0 dann ist man fertig denn dann ist phi <= 1 \nu fast sicher. Also angenommen Q wäre keine \nu Nullmenge, dann wäre das wegen deinem Argument ein Widerspruch zur vorraussetzung (\nu \le \mu) folglich muss \nu(Q) = 0 sein. Also gilt \phi \le 1 \nu fast sicher. Das war damit von mir gemeint oder siehst du das anders? Kann natürlich sein, dass ich jetzt auch ein Brett vor dem Kopf habe. Schöne Grüße
20.05.2011, 16:23	Shortstop	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso meintest du das. Aber ich denke der Widerspruch kommt auch ohne die Annahme auf. Naja mussten die Blätter heut abgeben, Auswertung gibts nächste Woche. Danke dir

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