Integral sqrt(x² - 1)

18.05.2011, 19:14

warkel

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Integral sqrt(x² - 1)

das hier ist mein Anfang:

$\begin{eqnarray*} <br /> \\ \int \sqrt{x^2-1}dx = \int (x^2-1)^\frac{1}{2}dx \\<br /> <br /> u=x^2-1; \frac{du}{dx}=2x; dx=\frac{du}{2x}\\\\<br /> <br /> \int (x^2-1)^\frac{1}{2}\frac{du}{2x} = \frac{1}{2}\int u^\frac{1}{2} \frac{du}{x} =\frac{1}{2}\int u^\frac{1}{2}x^{-1} \\\\<br /> x^2-1 = u \\ <=> x = +/- \sqrt{u+1} = +-(u-1)^\frac{1}{2} \\<=> x^{-1} =+- (u-1)^2 \\\\<br /> <br /> \frac{1}{2}\int u^\frac{1}{2}(u-1)^2 = ...<br /> \end{eqnarray*}$

irgendwie kommt mir das was ich bis dahin gemacht habe so umständlich und falsch vor. Macht man das so oder gibts da was besseres?

18.05.2011, 19:27

Mulder

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RE: Integral sqrt(x² - 1)

Zitat:

Original von warkel
$\begin{eqnarray*} x^2-1 = u \\ <=> x = +/- \sqrt{u+1} = +-(u-1)^\frac{1}{2} \\<=> x^{-1} =+- (u-1)^2 \\\\ \end{eqnarray*}$

Was für ein Potenzgesetz du da am Ende verwendest, bleibt wohl dein Geheimnis. Aus dem ^(1/2) würde allenfalls ^(-1/2) werden. Außerdem steht da erst u+1 und dann auf einmal u-1. Tippfehler, nehme ich mal an...

Alles in allem scheint mir dein Weg nicht zielführend zu sein. Ich würde es am einfachsten finden, hier mit

$\begin{eqnarray*} x = \cosh(u) \end{eqnarray*}$

zu substituieren, danach kommt man mit partieller Integration recht leicht ans Ziel. Danach kann man dann rücksubstituieren.

19.05.2011, 08:19

klarsoweit

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RE: Integral sqrt(x² - 1)
Und wenn man den cosh nicht kennt, geht auch $\begin{eqnarray*} x = \frac 1 2 (u + \frac 1 u) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2011, 13:25

warkel

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@mulder: wie kommt man auf sowas?
@klarsoweit: wie kommt man auf sowas?

19.05.2011, 13:36

warkel

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hier habe ich mal versucht das nach Mulders Methode anzugehen
$\begin{eqnarray*} <br /> \int \sqrt{x^2-1}dx \\<br /> <br /> x=cosh(u); \frac{dx}{du}=sinh(u); dx=sinh(u)du\\\\<br /> <br /> es.gilt: cosh^2u -1 = sinh^2u\\\\<br /> <br /> \int \sqrt{sinh^2u}*dx = \int \sqrt{sinh^2u}*sinh(u)du = \int sinh^2u*du<br /> \end{eqnarray*}$

so richtig? und wenn, wie gehts ca. weiter?

19.05.2011, 13:45

klarsoweit

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Soweit ok. Rechne jetzt so:

$\begin{eqnarray*} \int sinh^2(u)~du = \int sinh(u) \cdot sinh(u)~du \end{eqnarray*}$

und wende die partielle Integration an.

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19.05.2011, 15:17

warkel

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okay also:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int sinh(u)sinh(u)du\\<br /> f(u)= sinh(u); f'(u)=cosh(u)\\<br /> g(u)= cosh(u); g'(u)=sinh(u)\\\\<br /> <br /> \int f(u)g'(u)= f(u)g(u)-\int f'(u)g(u)du \\\\ \int sinh(u)sinh(u)du <br /> = sinh(u)cosh(u)-\int cosh(u)cosh(u)du \\\\<br /> = sinh(u)cosh(u) - cosh(u)sinh(u) - \int sinh(u)sinh(u) \\\\<br /> = 0 - \int sinh(u)sinh(u)<br /> \end{eqnarray*}$

da ist doch wieder der wurm drin^^

19.05.2011, 15:35

Mulder

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Du musst nach einmaliger partieller Integration wieder die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(u)-\sinh^2(u)=1 \end{eqnarray*}$

verwenden, dann kannst du nach dem gesuchten Integral auflösen und die Lösung steht da.

Sonst drehst du dich wirklich im Kreis. Übrigens hast du bei deiner Rechnung jetzt einen Vorzeichenfehler drin. Das sollte dir schon auffallen, denn so steht da ja Käse. Denn was du eigentlich erhälst, wenn du alle Vorzeichen beachtest, ist

$\begin{eqnarray*} \int \sinh^2(u) \, \dd u = 0 + \int \sinh^2(u) \, \dd u \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich schön, aber wertlos. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 02:57

warkel

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Zitat:

Original von Mulder
Du musst nach einmaliger partieller Integration wieder die Beziehung

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(u)-\sinh^2(u)=1 \end{eqnarray*}$

verwenden, dann kannst du nach dem gesuchten Integral auflösen und die Lösung steht da.

$\begin{eqnarray*} <br /> \int sinh(u)sinh(u)= sinh(u)cosh(u) - \int cosh(u)cosh(u)du <br /> <br /> \\cosh^2(u)-sinh^2(u)=1 <br /> \\<=>cosh(u)cosh(u) = sinh^2(u)+1<br /> <br /> \\\int sinh(u)sinh(u)= sinh(u)cosh(u) - \int (sinh^2(u)+1)du =... \end{eqnarray*}$

so etwa? wenn ich das nicht falsch hab, weiß ich auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 08:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von warkel
so etwa?

Genau. Jetzt kannst du weiter rechnen:

$\begin{eqnarray*} \int sinh(u)sinh(u)~du = sinh(u)cosh(u) - \int (sinh^2(u)+1)~du = sinh(u)cosh(u) - \int sinh^2(u)~du - \int 1~du \end{eqnarray*}$

Jetzt auf beiden Seiten $\begin{eqnarray*} \int sinh^2(u)~du \end{eqnarray*}$ addieren und du bist fast fertig. smile

smile

20.05.2011, 13:54

warkel

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oh ich muss ganz nah am Ziel sein^^

$\begin{eqnarray*} <br /> 2\int sinh^2(u)= sinh(u)cosh(u)-\int1du\\<br /> \int sinh^2(u)= \frac{1}{2}sinh(u)cosh(u)-\frac{1}{2}\int1du\\<br /> \int sinh^2(u)= \frac{1}{2}sinh(u)x-\frac{1}{2}(x+c)<br /> \end{eqnarray*}$

sinh(u) empfinde ich als ein wenig störend

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> sinh(u)=\frac{dx}{du}; sinh(u)=\frac{x}{du} ??<br /> \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 14:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von warkel
$\begin{eqnarray*} \int sinh^2(u)= \frac{1}{2}sinh(u)cosh(u)-\frac{1}{2}\int1du\\<br /> \int sinh^2(u)= \frac{1}{2}sinh(u)x-\frac{1}{2}(x+c) \end{eqnarray*}$

Vorsicht. Du mußt erst das Integral $\begin{eqnarray*} \int 1~du \end{eqnarray*}$ ausrechnen, bevor du das u rücksubstituierst.

Das störende sinh(u) wirst du mittels der Formel cosh²(u) - sinh²(u) = 1 los.

20.05.2011, 15:26

warkel

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$\begin{eqnarray*} <br /> 2\int sinh^2u=sinh(u)cosh(u)-x-c <br /> =\int sinh^2u=\frac{1}{2}sinh(u)cosh(u)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}c<br /> <br /> cosh^2u -sin^2u=1 <br /> \Leftrightarrow sinh(u)=\pm \sqrt {cos^2u-1}<br /> <br /> \int sinh^2u= \pm\frac{1}{2}\sqrt{cos^2u-1}*cosh(u)-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}c<br /> \int sinh^2u= \pm\frac{1}{2}\sqrt{x^2-1}*x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}c<br /> \end{eqnarray*}$
verwirrt

verwirrt

20.05.2011, 16:05

klarsoweit

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Zitat:

Original von warkel
$\begin{eqnarray*} 2\int sinh^2u=sinh(u)cosh(u)-x-c \end{eqnarray*}$
(

Du fängst da schon wieder mit dem x an. unglücklich

unglücklich

Es geht aber um $\begin{eqnarray*} \int 1~du \end{eqnarray*}$ und das ist eben nicht x.

20.05.2011, 16:08

warkel

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oh mist, wie konnte mir das nur passieren^^

was ist $\begin{eqnarray*} \int 1du \end{eqnarray*}$ denn?

21.05.2011, 19:14

warkel

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ist jetzt nur noch verzweifelt geraten

$\begin{eqnarray*} du= \frac{dx}{sinh(u)}\\<br /> 2\int sinh^2u=sinh(u)cosh(u) -\int \frac{dx}{sinh(u)}<br /> \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 19:18

Mulder

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Wenn du so einen Ausdruck wie

$\begin{eqnarray*} \int \, \dd u \end{eqnarray*}$

da stehen hast, dann steht das du am Ende nicht völlig grundlos da, es gibt dir Auskunft darüber, nach welcher Variablen hier integriert werden soll. Hier also nach u. So ist also

$\begin{eqnarray*} \int \dd u = u \quad (+C) \end{eqnarray*}$

Und nicht x. Ich verstehe das wirklich nicht so ganz, sinh(u) und cosh(u) kannst du nach u integrieren, aber die 1 nicht? unglücklich

unglücklich

21.05.2011, 19:21

warkel

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das ist ganz einfach zu erklären: ich hab halt die grundlegendsten dinge nicht verstanden smile

smile

21.05.2011, 20:13

warkel

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$\begin{eqnarray*} <br /> x = cosh(u);<br /> => u = arccosh(x)<br /> <br /> \int sinh^2u= \pm\frac{1}{2}\sqrt{cos^2u-1}*cosh(u)-\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}c<br /> \int sinh^2u= \pm\frac{1}{2}\sqrt{x^2-1}*x-\frac{1}{2} arccosh(x)-\frac{1}{2}c<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

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