Taylorentwicklung Wurzelfunktion/Approximation

18.05.2011, 21:30

Pitfrog

Taylorentwicklung Wurzelfunktion/Approximation

Heyho,
ich muss einen Vortrag über die Taylorentwicklung halten. Zu diesem Thema habe ich eine Beispielrechnung gemacht und zwar habe ich die Wurzelfunktion kubisch angennähert. Die Funktion sieht folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} f(x)= 2+\frac{1}{3}(x-4)-\frac{1}{32}\frac{(x-4)^2}{2}+\frac{3}{256}\frac{(x-4)^3}{6} \end{eqnarray*}$

Jetzt sagt mein Lehrer, diese Formel sei ordentlich zum Rechnen wenn man Wurzeln aus 3 oder 5 haben möchte. Das versteh ich aber nicht so ganz muss ich dann für x = 3 einsetzen und bekomme dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ raus oder wie soll ich das verstehen. Wäre cool wenn mich jemand aufklären könnte oder mir 'n Tipp gibt damit ich weiter komme Prost

P.S.: Ich hoffe der Post passt hier rein, bin zwar erst in der Oberstufe aber das Thema gehört hoffentlich in die Hochschulmathematik smile

Freu mich auf Antworten
MfG Pitfrog

Noch ein Bild zur Veranschaulichung:

http://imageshack.us/photo/my-images/69/unbenannt1nq.jpg/

18.05.2011, 22:43

trashing88

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Naja je weiter du von deinem $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ weggehst, desto ungenauer wird deiner Näherung. Das was du dastehen hast ist ja nur das Taylorpolynom dritten Grades. Hinzu kommt noch ein Restterm vierten Grades.

$\begin{eqnarray*} f(x)|_{x_{0}}= \sum\limits_{k=0}^n {\frac{f^{k}(x_{0})}{k!} \cdot (x-x_{0})^{k}} + R_{n}(x,x_{0}) \end{eqnarray*}$

Wobei es verschiedene Darstellungen der Restglieder gibt. Am interessantesten ist sicherlich die von Lagrange:

$\begin{eqnarray*} R_{n}(x,x_{0}) = \frac{f^{n+1}(\epsilon)}{(n+1)!} \cdot (x-x_{0})^{n+1} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \epsilon \in (x-x_{0}; x+x_{0}) \end{eqnarray*}$ also Epsilon ist zwischenstelle zwischen x und x0.

Für eine hinreichend kleine Umgebung um dein x0 ist deine Funktion durch ein kubisches Taylorpolynom gut darstellbar, aber für größere Entfernungen von x0 natürlich nicht. Hinzu kommt, dass es möglich ist das das Restglied nicht gegen Null geht, d.h. das es nicht gutartig ist und somit mit jeder höheren Ableitung mehr Informationen in dem Restglied stecken als in deinem Taylorpolynom selbst.

18.05.2011, 22:43

Wellenfunktion

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Das ist ein Taylorpolynom der Wurzelfunktion am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$ . Daher ist die Näherung auch nur für Argumente um $\begin{eqnarray*} x = 2 \end{eqnarray*}$ gut. Auf deine Frage: Ja, wenn du für $\begin{eqnarray*} x = 3 \end{eqnarray*}$ einsetzt, kriegst du rund $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ raus. Je größer die Abweichung vom Entwicklungspunkt, desto größer aber auch die Abweichung vom exakten Wert. Daher sagt dir dein Lehrer, dass die Formel gut für Wurzeln aus 3 oder 5 wäre.

18.05.2011, 22:49

trashing88

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Zitat:

Original von Wellenfunktion
Das ist ein Taylorpolynom der Wurzelfunktion am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Wieso im ersten Term steht doch 2. Der erste Term ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{(0)}(4)}{1} \cdot (x-4)^{0} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$

18.05.2011, 22:50

Pitfrog

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Ok danke, habe nach dem online stellen dieses Postes meinen TR gefunden und hab ma für x 3 eingesetzt und schwups, da bekomme ich ja ca. Qurzel 3 raus. Ja ich weiß selber, dass diese kubische Funktion nur in dem Bereich von der Entwicklungsstelle gut approximiert ist. Doch 3 und 5 gehen ja wie gesagt noch ganz gut.

Danke trotzdem für eure Hilfe vor allem Dingen habe ich jetzt etwas über das Restglied von Lagrange denn dieser Punkt und die Konvergenz fehlt mir noch für meinen Vortrag. Denn diese beiden Punkten finde ich ein wenig kompliziert Big Laugh

18.05.2011, 22:54

Pitfrog

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Zitat:

Original von trashing88

Zitat:

Original von Wellenfunktion
Das ist ein Taylorpolynom der Wurzelfunktion am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Wieso im ersten Term steht doch 2. Der erste Term ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{(0)}(4)}{1} \cdot (x-4)^{0} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$

d.h. entwicklungsstelle x0 = 4 smile

18.05.2011, 22:57

trashing88

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Es gibt mehrere Darstellungen des Restgliedes, die "einfachste" (hängt natürlich auch von der Situation ab) ist die von Lagrange. Die allgemeinste ist die von Schlömilch, dann gibts auch noch eine von Cauchy.

Zum Thema Restglied:

Mach doch mal die Taylorentwicklung von:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-\frac{1}{x^{2}}} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ ,

da steckt jegliche Information im Restglied (glaub es mir einfach).

18.05.2011, 23:04

Wellenfunktion

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Zitat:

Original von Pitfrog

Zitat:

Original von trashing88

Zitat:

Original von Wellenfunktion
Das ist ein Taylorpolynom der Wurzelfunktion am Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 = 2 \end{eqnarray*}$

Wieso im ersten Term steht doch 2. Der erste Term ergibt sich aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{f^{(0)}(4)}{1} \cdot (x-4)^{0} = \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray*}$

d.h. entwicklungsstelle x0 = 4 smile

Ja, richtig. Ich hab im Kopf bereits an $\begin{eqnarray*} \sqrt 4 = 2 \end{eqnarray*}$ gedacht, ist natürlich die Entwicklungsstelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 4 \end{eqnarray*}$ .

19.05.2011, 06:56

Pitfrog

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Zitat:

Original von trashing88
Es gibt mehrere Darstellungen des Restgliedes, die "einfachste" (hängt natürlich auch von der Situation ab) ist die von Lagrange. Die allgemeinste ist die von Schlömilch, dann gibts auch noch eine von Cauchy.

Zum Thema Restglied:

Mach doch mal die Taylorentwicklung von:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-\frac{1}{x^{2}}} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ ,

da steckt jegliche Information im Restglied (glaub es mir einfach).

Morgen,
ja ich glaubs dir Big Laugh

doch die fehlerabschätzung habe ich mir noch nich angeschaut smile

ich weiß nicht wie man das restglied bildet und wie ich dann damit rechne wenn ich vllt an dem Thema angekommen bin kann ich das mal ausprobieren oder du zeigst es mir.

MfG Pitfrog

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