El. Zahlentheorie Eulersche Funktion

18.05.2011, 22:16	egueneba	Auf diesen Beitrag antworten »
El. Zahlentheorie Eulersche Funktion Hallo Liebe Leute, sitze gerade an einer Übungsaufgabe zur El. Zahlentheorie und komme nicht weiter. Also die Aufgabe ist folgende: Sei n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ~\mathbb N \end{eqnarray}$ sodass 6\|n und n $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 6. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ (n) $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{n}{3} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Eulersche Funktion. Ich habe überlegt, da 6\|n muss n aus der Vielfachmenge ab der Zahl 12 stammen, also n= {12,18,24,30,36,....} und das mit dem Induktionsprinzip zu zeigen. Also IA für n=12 und IS für (n+6) Komme aber im IS nicht weiter.... Wer kann helfen?
18.05.2011, 23:28	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: El. Zahlentheorie Eulersche Funktion 6\|n ---> n=6k Nun schauen wir uns einmal die Aufgabenstellung an, es ist $\begin{eqnarray} \phi(n)=\phi(6k)=\phi(6) \cdot \phi(k) \leq \frac{6k}{3}=2k \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} \phi(6)=2 \end{eqnarray}$ , man kann die Aufgabe also auf folgendes beschränken: $\begin{eqnarray} 2 \cdot \phi(k) \leq 2 \cdot k \Rightarrow \phi(k) \leq k \end{eqnarray*}$ .

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