Probleme beim Lösen von gew. lin. inhom. DGL 1.Ordng. mit konst. Koeff.

18.05.2011, 22:54	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
Probleme beim Lösen von gew. lin. inhom. DGL 1.Ordng. mit konst. Koeff. Hallo, habe ein Problem beim Lösen folgender DGL: $\begin{eqnarray} \dot y(x) + 3 \cdot y(x) = 2 \cdot sin(x) \cdot e^x \end{eqnarray}$ Zuerst suche ich die allgemeine Lösung der homogenen DGL: $\begin{eqnarray} y_{a}(x) = A e^{-3 \cdot x} \end{eqnarray}$ Nun versuche ich die allgemeine Lösung der inhomogenen mittels Variation der Konstante zu ermitteln, also: $\begin{eqnarray} y(x) = A(x) * e^{-3 \cdot x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A'(x)e^{-3 \cdot x} - 3 \cdot A(x) e^{-3 \cdot x} + 3 \cdot A(x) \cdot e^{-3 \cdot x} = 2 \cdot sin(x) \cdot e^x \end{eqnarray}$ also... $\begin{eqnarray} A'(x) = 2 \cdot sin(x) \cdot e^{4 \cdot x} \end{eqnarray}$ nun integriere ich und erhalte: $\begin{eqnarray} A(x) = \frac{e^{4 \cdot x}}{8} \cdot (4 \cdot sin(x) - cos(x)) + c = \frac{1}{2} \cdot e^{4 \cdot x} \cdot sin(x) - \frac{1}{8} \cdot e^{4 \cdot x} \cdot cos(x) + c \end{eqnarray}$ nun setze ich in y(x) ein und erhalte: $\begin{eqnarray} y(x) = A(x) \cdot e^{-3 \cdot x} = (\frac{1}{2} \cdot e^{4 \cdot x} \cdot sin(x) - \frac{1}{8} \cdot e^{4 \cdot x} \cdot cos(x) + c) \cdot e^{-3 \cdot x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{e^x}{2} \cdot sin(x) - \frac{e^x} {8} \cdot cos(x) + c \cdot e^{-3 \cdot x} \end{eqnarray}$ Nun sollte man meinen, dass dies die Lösung der DGL ist.. man setzt also in die DGL ein und erhält: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot sin(x) + \frac{1}{2} \cdot e^x \cdot cos(x) - \frac{1}{8} \cdot e^x \cdot cos(x) + \frac{1}{8} \cdot e^x \cdot sin(x) - 3 \cdot c \cdot e^{-3 \cdot x} + \frac{3}{2} \cdot e^x \cdot sin(x) - \frac{3}{8} \cdot e^x \cdot cos(x) + 3 \cdot c \cdot e^{-3 \cdot x} = 2 \cdot e^x \cdot sin(x) \end{eqnarray}$ Vereinfache ich jetzt, komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{17}{8} \cdot e^x \cdot sin(x) = 2 \cdot e^x \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$ Ich habe die Aufgabe jetzt mehrfach durchgerechnet, und komme immer wieder zum selben Ergebnis! Wolfram Alpha spuckt mir auch eine andere Lösung als meine aus! Es wäre sehr nett, wenn mir irgendjemand verraten könnte wo mein Fehler liegt! Bin für jede Antwort dankbar! MfG. M.Döring
18.05.2011, 22:56	max_doering	Auf diesen Beitrag antworten »
nur gut, dass ich meinen Fehler immer erst finde, wenn ich die ganzen Gleichungen eingetippt habe ... Mein Fehler liegt beim Integrieren von A'(x). Es muss lauten $\begin{eqnarray} \frac{2 \cdot e^{4 \cdot x}}{17} ... \end{eqnarray}$

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