Grenzwert

19.05.2011, 01:21

Grenzwert

Ich soll den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} a_{n} = q^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$

mit Hilfe des Majoranten und Minorantenkriteriums berechnen. Kann mir jemand einen Tipp geben, welche Funktionen ich benutzen soll um den Grenzwert zu berechnen?

19.05.2011, 09:14

klarsoweit

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RE: Grenzwert
Ist irgendwas in der Aufgabe zu q gesagt?

19.05.2011, 13:05

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Sry, hab vergessen das mitanzuschreiben.

$\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R , q > 0 \end{eqnarray*}$

Gibt es irgendeinen Trick, auf die Funktionen zu kommen?

Kann ich z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} q^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$ als Minorante nehmen und $\begin{eqnarray*} q^{\frac{1}{n-1}} \end{eqnarray*}$ als Majorante oder bringt mir das nichts?

19.05.2011, 13:18

klarsoweit

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Erstmal handelt es sich um eine Folge und nicht um Funktionen.

Testen wir mal deine Idee mit der Minorante für q = 1/2.
Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} (\frac 1 2)^{\frac{1}{2}} < (\frac 1 2)^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ , so daß $\begin{eqnarray*} q^{\frac{1}{n+1}} \end{eqnarray*}$ nicht als Minorante in Frage kommt. Und selbst wenn man das für q > 1 als Minorante nehmen könnte, fragt sich, was man davon hätte.

Gehe wie folgt vor:
Für q > 1 ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} q^{\frac{1}{n}} > 1 \end{eqnarray*}$ . Somit ist 1 schon mal eine Minorante.

Betrachte nun $\begin{eqnarray*} x := q^{\frac{1}{n}} - 1 \end{eqnarray*}$ . Aus dem vorgesagten folgt, daß x > 0 ist.
Wende nun auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \end{eqnarray*}$ die Bernoullische Ungleichung an.

19.05.2011, 23:20

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Danke, ich habs hinbekommen.

Eine Folge hab ich noch:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \end{eqnarray*}$

Kann ich als Minorante einfach $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^{n}} \end{eqnarray*}$ nehmen oder geht das nicht?

19.05.2011, 23:45

Hitschler

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kannst du.

Und wie weiter? Augenzwinkern

20.05.2011, 01:36

natural

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Mann kanns eigentlich noch einfacher machen.
Du weißt das q konstant ist und das der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} -> 0 \end{eqnarray*}$ ist.
Weiterhin weißt du das $\begin{eqnarray*} q^{0} =1 \end{eqnarray*}$ ist. Aus diesen Tatsachen folgt ganz einfach:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty } q^{\frac{1}{n}} = q^{0}= 1 \end{eqnarray*}$

mfg
natural smile

20.05.2011, 02:26

natural

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Edit:
Oh sry, hab gerade bemerkt das du es mit den Majoranten und Minorantenkriterium berechnen solltest. Vergiss dann meinen Vorschlag.

Sofern du mit Majoranten und Minorantenkriterium vielleicht das Sandwich-Theorem meinst. Versuch von der Bernoulli-Gleichung zu Binomische Gleichung über zu gehen. Anschließend dann Denken und dann das Sandwich-Theorem anwenden. Danach ergibt sich alles wie von selbst.

mfg
natural smile

20.05.2011, 05:51

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Kann ich aber wirklich bei

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^{n}}=7 \end{eqnarray*}$ als Minorante nehmen oder ist das falsch?

Ich hab einfach Werte eingefügt und anscheinend ist der Grenzwert 7, deshalb bin ich darauf gekommen, aber irgendwie glaub ich nicht, dass die Aufgabe so gedacht war.

20.05.2011, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von KD
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^{n}}=7 \end{eqnarray*}$ als Minorante nehmen

Ja, kannst du (wurde schon von Hitschler bestätigt).
Jetzt brauchst du noch eine Majorante. Diese zu finden, ist auch nicht allzu schwer.

20.05.2011, 11:29

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Ok, bei der Majorante hab ich aber leider trotzdem Probleme.
Theoretisch kann ich einfach eine 1 addieren,

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{3^{n}+5^{n}+7^{n}+1} \end{eqnarray*}$

aber die Frage ist doch ob so eine Umformung irgendwas bringt.

20.05.2011, 11:42

klarsoweit

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Anscheinend nicht. Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{7^n + 7^n + 7^n} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

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