Lokalisierung, Quotientenkörper

19.05.2011, 08:46

Hamsterchen

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Lokalisierung, Quotientenkörper

Guten morgen,
hier ist eine Aufgabe, die ich gerne verstehen würde =)

aufbauend auf diesen thread:
äquivalenzrelation überprüfen

Also sei jetzt $\begin{eqnarray*} P\subset R \end{eqnarray*}$ ein Primideal. Dann ist das Komplement S von P in R ein multiplikatives System. Wir schreiben auch $\begin{eqnarray*} S^{-1}P=:R_P \end{eqnarray*}$ und bezeichnen diesen Ring als Lokalisierung an P.
Ist R nullteilerfrei, so ist $\begin{eqnarray*} Quot(R):=R_{0\cdot R} \end{eqnarray*}$ ein Körper. Wir bezeichnen diesen auch als den Quotientenkörper von R.
Die kanonische Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi\colon R\to S^{-1}R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\mapsto\frac r1 \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert und genau dann injektiv, wenn S keine Nullteiler enthält.

erstmal meine allgemeinen Fragen:
Soll man im ersten Teil zeigen, dass es ein multiplikatives System ist? und was ist denn eigentlich ein multiplikatives System? Wie ist das Komplement S von P in R definiert???
Ich verstehe die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} R_{0\cdot R} \end{eqnarray*}$ nicht, was soll das bedeuten?

Ja erstmal diese Fragen ^^

LG
Hamsterchen

19.05.2011, 08:56

jester.

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Hallo,

das Komplement von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ist die Menge $\begin{eqnarray*} R-P \end{eqnarray*}$ (oder anders geschrieben $\begin{eqnarray*} R\setminus P \end{eqnarray*}$ ), also die Menge aller Elemente des Rings, die nicht in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegen.
So ein multiplikatives System $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist für die Zwecke der Lokalisierung ein Untermonoid des Rings, d.h. die 1 liegt in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x,y\in S \Rightarrow x\cdot y \in S \end{eqnarray*}$ .
Üblicherweise meint man $\begin{eqnarray*} 0R=\{0\} \end{eqnarray*}$ das Nullideal, welches in Integritätsringen prim ist. Der Quotientenkörper ist dann die Lokalisierung am Nullideal gemäß der vorstehenden Schreibweise $\begin{eqnarray*} R_P \end{eqnarray*}$ für ein Primideal $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ .

Nachzuweisen, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein multiplikatives System ist, ist sicherlich nicht schlecht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2011, 09:05

zweiundvierzig

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RE: Lokalisierung, Quotientenkörper
Guten Morgen. smile

smile

Zitat:

Original von Hamsterchen
Wir schreiben auch $\begin{eqnarray*} S^{-1}P=:R_P \end{eqnarray*}$ [...]

Das glaube ich nur fast. Hier sollte eher $\begin{eqnarray*} S^{-1}R=:R_P \end{eqnarray*}$ stehen.

Zitat:

Original von Hamsterchen
Soll man im ersten Teil zeigen, dass es ein multiplikatives System ist? und was ist denn eigentlich ein multiplikatives System?

Ich kann Dir auch nicht mit Bestimmtheit sagen, ob Deine Aufgabensteller im allgemeinen Assagesätze als Aufgaben meinen, aber in unserem Fall ist es eine gute Übung, alle solchen Aussagen zu beweisen. Ein multiplikatives System bezeichnet eine Menge, die abgeschlossen unter Multiplikation ist (in unserem Falle ist die Multiplikation auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ gemeint).

Zitat:

Original von Hamsterchen
Wie ist das Komplement S von P in R definiert???

$\begin{eqnarray*} S := R \setminus P \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Hamsterchen
Ich verstehe die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} R_{0\cdot R} \end{eqnarray*}$ nicht, was soll das bedeuten?

Die Schreibweise wurde doch in der Zeile drüber eingeführt: $\begin{eqnarray*} P = 0 \cdot R = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ , denn in jedem Integritätsring ist das Nullideal ein Primideal (Warum?). Damit ist $\begin{eqnarray*} S = R \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{Quot}(R) = R_{\{0\}} = (R \setminus \{0\})^{-1} R \end{eqnarray*}$ .

Edit: Da war jester schneller.

19.05.2011, 09:06

jester.

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RE: Lokalisierung, Quotientenkörper

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Hamsterchen
Wir schreiben auch $\begin{eqnarray*} S^{-1}P=:R_P \end{eqnarray*}$ [...]

Das glaube ich nur fast. Hier sollte eher $\begin{eqnarray*} S^{-1}R=:R_P \end{eqnarray*}$ stehen.

Gutes Auge. geschockt

geschockt

19.05.2011, 09:29

Hamsterchen

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hi, danke für die tollen erklärungen =)
Also ich muss zeigen,dass R\P, wobei P Primideal, d.h. für alle A,B aus R mit AB in P gilt, dass entweder A oder B in P liegt.
Also dass für s,t aus R\P gilt, dass st auch darin liegt.

wie fängt man da am besten an? ich finde dieses komplement etwas verwirrend ^^

19.05.2011, 10:16

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
Also ich muss zeigen,dass R\P, wobei P Primideal, d.h. für alle A,B aus R mit AB in P gilt, dass entweder A oder B in P liegt.
Also dass für s,t aus R\P gilt, dass st auch darin liegt.

Etwas verwirrend aufgeschrieben, aber letzteres musst Du zeigen, ja. Außerdem enthält die Primidealeigenschaft ein nicht-exklusives "oder"!

Also, wir wissen: $\begin{eqnarray*} xy \in P \implies x \in P ~ \text{oder} ~ y \in P \end{eqnarray*}$ Wenn man diese Aussage (unter formalen Gesichtspunkten) geschickt angeguckt, was bringt sie uns für die Aufgabe?

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19.05.2011, 12:21

Hamsterchen

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hmmm kann man vielleicht irgendwie sagen, dass z.bsp. x in P ist und es ist xy in P. Also diese Bedingung gilt sozusagen schon, wenn nur ein Element in P ist, also sollte es doch erst recht gelten, wenn beide Elemente in P sind?

hmmm verwirrt sei....

19.05.2011, 14:47

zweiundvierzig

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Ich verstehe nicht, was Du genau meinst. Wass heißt denn formal aufgeschrieben, dass $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ multiplikativ abgeschlossen ist?

19.05.2011, 19:39

Hamsterchen

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naja d.h dass wenn ich 2 elemente aus S multipliziere, dass es in S bleibt.

19.05.2011, 20:12

zweiundvierzig

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Ja, und wie folgert man das mithilfe der Primidealeigenschaft des Komplements? Als Tipp sagte ich doch, schreibe Dir beide Schlüsse mal formal auf.

19.05.2011, 21:13

Hamsterchen

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ja das wäre einmal
$\begin{eqnarray*} ab\in P\Rightarrow a\in P \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} b\in P \end{eqnarray*}$
und andererseits:
$\begin{eqnarray*} s,t\in S\Rightarrow st\in S \end{eqnarray*}$

Aber ich muss mir doch das Komplement betrachten, also $\begin{eqnarray*} R\setminus P \end{eqnarray*}$ ....

19.05.2011, 21:18

zweiundvierzig

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Und $\begin{eqnarray*} S = R \setminus P \end{eqnarray*}$ .

19.05.2011, 21:30

Hamsterchen

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ja das ist klar, also so stehts in der aufgabe. weiß trotzdem nicht weiter ^^

19.05.2011, 21:38

zweiundvierzig

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Was ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} A \implies B \end{eqnarray*}$ für Aussagen $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ ?

19.05.2011, 22:54

Hamsterchen

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aus nicht b folgt nicht a

muss ich dann sowas zeigen?:
$\begin{eqnarray*} st\notin R\setminus P \Rightarrow s,t\notin R \setminus P \end{eqnarray*}$ ???

ähm ich gehe jetzt schlafen, werde morgen nochmal vorbei schauen

danke für eure hilfe!!!

gn8
Hamsterchen

19.05.2011, 23:08

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Hamsterchen
$\begin{eqnarray*} st\notin R\setminus P \Rightarrow s,t\notin R \setminus P \end{eqnarray*}$ ???

Da steht jetzt $\begin{eqnarray*} st \in P \implies s \in P ~ \text{und} ~ t \in P \end{eqnarray*}$ ...
Schlaf lieber nochmal drüber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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