Exponentialfunktion als Diagonalmatrix

19.05.2011, 12:45

fleurita

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Exponentialfunktion als Diagonalmatrix

Meine Frage:
hallo leute! ich steh vor einem problem:

wir haben die exponentialfunktion gegeben mit exp(x)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

und weiter steht da, dass man exp auch als als eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} {Mat(nxn,\mathbb C)\to Mat(nxn,\mathbb C)} \end{eqnarray*}$ auffassen kann.

Die Aufgabe ist jetzt exp(D) zu berechnen, wobei D eine Diagonalmatrix sein soll

Meine Ideen:
es wäre schön, wenn ich ein ansatz hätte, aber ich weiß nicht mal wo ich anfangen soll... auf jeden fall vielen dank schon mal für eure hilfe!

lg fleurita

19.05.2011, 14:02

René Gruber

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Der Anfang sollte doch eigentlich klar sein: Auch für die Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ (vom Typ $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ ) ist hier definiert

$\begin{eqnarray*} \exp(D) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{D^k}{k!} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

wobei man noch dazusagen sollte, dass dann mit $\begin{eqnarray*} D^0 \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix (vom gleichen Typ $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ ) gemeint ist.

Um (*) weiter zu analysieren, gilt es als nächstes rauszukriegen, welche Gestalt denn nun die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Potenz $\begin{eqnarray*} D^k \end{eqnarray*}$ dieser Diagonalmatrix hat...

19.05.2011, 14:43

fleurita

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tut mir leid aber ich versteh nur bahnhof traurig

traurig

wäre dann z.B. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^3 \frac{D^{k} }{k!} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} (d_1)^{2} & 0 & 0 \\ 0 & (d_2)^{2} & 0 \\ 0 & 0 & (d_3)^2 \end{pmatrix} * \frac{1}{2} + \begin{pmatrix} (d_1)^{3} & 0 & 0 \\ 0 & (d_2)^{3} & 0 \\ 0 & 0 & (d_3)^3 \end{pmatrix} * \frac{1}{6} ? \end{eqnarray*}$

oder bin ich da ganz falsch...

19.05.2011, 16:02

fleurita

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man ey hab mich jetzt noch mal ne stunde drangehockt und bin fast nit weiter gekommen traurig

traurig

glaub des was ich da hingeschrieben hab ist unsinn...
Im LA-buch steht gar nix dazu böse

böse

.

19.05.2011, 16:05

René Gruber

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Zitat:

Original von fleurita
glaub des was ich da hingeschrieben hab ist unsinn...

Das irrst du dich: Und zwar mit dieser Einschätzung - denn die Rechnung ist bisher durchaus richtig! Jetzt die einzelnen Summanden wieder zu einer Matrix bündeln.

Zitat:

Original von fleurita
Im LA-buch steht gar nix dazu böse

böse

.

Weil du alle nötigen Grundkenntnisse hast. Es fehlt dir nur an Vertrauen und Mut, sie einzusetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2011, 16:54

fleurita

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hmm cool vielen Dank Réné! smile

smile

mir ist grad noch aufgefallen, dass ich gar nit weiß wie groß die matrix ist, ich vermute mal es ist eine nxn-matrix.

also ist dann
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{D^{k} }{k!} = \frac{1}{0!} * \begin{pmatrix} 1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{1!} * \begin{pmatrix} d_1 & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & d_n \end{pmatrix} + ... + \frac{1}{n!} * \begin{pmatrix} (d_1)^n & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & (d_2)^n & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & (d_n)^n \end{pmatrix} ? \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \frac{D^{k} }{k!} = \begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^n \frac{(d_1)^{k} }{k!} & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & \sum\limits_{k=0}^n \frac{(d_2)^{k} }{k!} & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & \sum\limits_{k=0}^n \frac{(d_n)^{k} }{k!} \end{pmatrix} ??? \end{eqnarray*}$

wenn das jetzt stimmt fress ich ein besen...

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19.05.2011, 16:56

kiste

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Guten Appetit.

19.05.2011, 17:05

René Gruber

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@fleurita

Wenn du fertig mit deiner Mahlzeit bist, kannst du dann noch die Diagonalenelemente etwas vereinfacht schreiben (Exponentialfunktion für reelle Argumente!).

19.05.2011, 17:20

fleurita

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oh stimmt des geht ja gar nit bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sondern bis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{D^{k} }{k!} = \begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(d_1)^{k} }{k!} & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(d_2)^{k} }{k!} & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(d_n)^{k} }{k!} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie meinst du das mit diagonalelemente vereinfacht schreiben?
kannst mir da ein beispiel geben?

lg fleurita

19.05.2011, 17:24

René Gruber

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Zitat:

Original von fleurita
wir haben die exponentialfunktion gegeben mit exp(x)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$

Die Formel kann man auch rückwärts lesen, also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^{k}}{k!} = \exp(x) \end{eqnarray*}$ .

Und nun schau dir deine Diagonalenelemente mal an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2011, 17:35

fleurita

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hmm also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{D^{k} }{k!} = \begin{pmatrix} exp(d_1) & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & exp(d_2) & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & exp(d_n) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (d_1)^x & 0 & ... & ... & 0 \\ 0 & (d_2)^x & 0 & ... & 0 \\ . & ... & ... & & \\ : & & & ... & 0 \\ 0 & ... & ... & 0 & (d_n)^x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

19.05.2011, 22:58

fleurita

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ich deute das mal als ja smile

smile

vielen Dank für die Hilfe!

19.05.2011, 23:24

TommyAngelo

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Jo, ersteres.

Jetzt weißt du, dass man die Exponentialfunktion, angewendet auf eine Diagonalmatrix, "reinziehen" kann, also auf jedes Diagonalelement einzeln anwenden kann.

"Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale" -Wikipedia

20.05.2011, 09:52

fleurita

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bleiben mir noch 2 sachen zu klären:

1.) $\begin{eqnarray*} A, B \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \in Mat(nxn,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ und kommutieren, also $\begin{eqnarray*} A*B=B*A. \end{eqnarray*}$

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann soll gelten: $\begin{eqnarray*} (A+B)^m=\sum\limits_{k=0}^m \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} A^k*B^{m-k} \end{eqnarray*}$

ich würde dies mit vollständiger induktion machen, allerdings hab ich keine ahnung was $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein soll. Ein vektor wird es wohl nit sein...

2.) bei einer anderen aufgabe sind A, B wie oben und man soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} exp(A+B)=exp(A)*exp(B) \end{eqnarray*}$ ist. Weiß aber leider nit was exp(A) bzw. exp(B) ist oder welche gestalt die haben... Könnte mir das jemand anhand vll einer 3x3-matrix zeigen wie die aussehen?

vielen dank! smile

smile

20.05.2011, 10:38

René Gruber

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Zitat:

Original von fleurita
allerdings hab ich keine ahnung was $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein soll.

Vom Binomialkoeffizient hast du doch bestimmt schon gehört? Die Struktur hätte dich eigentlich an den Binomischen Satz (für reelle Zahlen) erinnern müssen, der sieht nämlich symbolisch haargenauso aus!

Zitat:

Original von fleurita
Weiß aber leider nit was exp(A) bzw. exp(B) ist

Die Definition hatten wir doch oben schon, nur diesmal statt für $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ diesmal auch mit möglicherweise Nichtdiagonalmatrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \exp(A) := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!} \end{eqnarray*}$ .

Die eigentliche Berechnung der einzelnen Matrixelemente ist hierbei allerdings etwas komplizierter als im Diagonalmatrix-Fall. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.05.2011, 11:37

fleurita

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heißt das $\begin{eqnarray*} exp(A)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^{k} }{k!} = \begin{pmatrix} exp(a_{11}) & exp(a_{12}) & ... & ... & exp(a_{1n}) \\ . & & & & . \\ : & & & & : \\ exp(a_{n1}) & exp(a_{n2}) & ... & ... & exp(a_{nn}) \end{pmatrix}?? \end{eqnarray*}$

20.05.2011, 13:02

fleurita

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glaub ich brauch echt ein beispiel... kann mir jemand die matrix hinschreiben für $\begin{eqnarray*} exp(A)=\sum\limits_{k=0}^2 \frac{A^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \in Mat(3x3,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ ?

wäre super nett!

20.05.2011, 13:05

kiste

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Das kann man nicht so einfach angeben, da muss man über die Jordannormalform gehen. Aber denk mal darüber nach warum die Aufgabe mit dem Binomialsatz zuvor kommt.

20.05.2011, 13:14

fleurita

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dazu hab ich noch eine kurze verständinisfrage (glaub es ist grad von nachteil, wenn man nur la hört und ana nicht...)

ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix}=\frac{m!}{k!*(m-k)!} \end{eqnarray*}$ ?

20.05.2011, 13:29

kiste

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Ja, sollte man noch aus der Schule kennen.

20.05.2011, 13:39

fleurita

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joa stimmt Big Laugh

Big Laugh

aber zu dem was du davor gesagt hast, also ich weiß natürlich was die Jordan Normalform ist, wie man sie bestimmt, wenn man eine nicht diagonalisierbare matrix hat usw. aber ich kann echt kein zusammenhang finden zwischen exp(A) und einer Jordan Normalform und auch keinen zwischen der aufgabe mit dem binominalkoeffizienten traurig

traurig

20.05.2011, 13:41

kiste

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Dann hast du es nicht versucht wenn du keinen Zusammenhang siehst.
Schreib doch einfach mal die Definition von exp(A+b) aus...

20.05.2011, 13:47

fleurita

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$\begin{eqnarray*} exp(A)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ oder?

20.05.2011, 13:49

kiste

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Das ist exp(A), jetzt exp(A+B).

Ich werde dir jetzt nicht jeden kleinen Schritt aus der Nase ziehen. Also denk bitte ein wenig nach...

20.05.2011, 13:53

fleurita

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okey ich gib mir mühe:

$\begin{eqnarray*} exp(A+B) \end{eqnarray*}$ müsste dann nach meiner logik $\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(A+B)^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ sein

20.05.2011, 14:34

fleurita

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oh je glaub bei mir muss noch irgein schalter umgelegt werden oder jemand muss mich wegziehen damit ich nit auf dem schlauch stehen bleib...

20.05.2011, 14:45

kiste

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Aber ganz eindeutig.
Wenn du einen Term der Form $\begin{eqnarray*} (A+B)^k \end{eqnarray*}$ hast und dann nicht auf die Idee kommst die Formel der letzten Teilaufgabe zu benutzen die genau so einen Term behandelt hat, dann weiß ich auch nicht mehr weiter.
Das ist eigentlich Standard. Der "schwere" Schritt ist doch das Cauchyprodukt

20.05.2011, 15:04

fleurita

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ach du sch**** stimmt!
des heißt ich hab dann

$\begin{eqnarray*} exp(A+B)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{k=0}^m \frac{m!}{k!*(m-k)!} A^k*B^{m-k} }{k!} \end{eqnarray*}$

und das soll dann gleich $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^{k} }{k!})*(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{B^{k} }{k!}) \end{eqnarray*}$ sein

berichtigt mich wenn ich was falsches sag.
grrrr vom Cauchy-Produkt hab ich aber noch nie was gehört...

20.05.2011, 15:19

fleurita

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hab es mir bei wikipedia mal angeschaut was das ist. Demnach müsste

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{A^{k} }{k!})*(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{B^{k} }{k!})=\sum\limits_{k=0}^n \frac{A^{k} }{k!}* \frac{B^{n-k} }{(n-k)!} \end{eqnarray*}$ sein

stimmt das?

20.05.2011, 15:38

fleurita

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und wenn man das noch zusammenfasst:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^n\frac{A^k B^{n-k} }{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

das heißt man soll zeigen:

$\begin{eqnarray*} exp(A+B)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{k=0}^m \frac{m!}{k!*(m-k)!} A^k*B^{m-k} }{k!} \end{eqnarray*}$ soll gleich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m\frac{A^k B^{m-k} }{k!(m-k)!}=exp(A)*exp(B) \end{eqnarray*}$ sein

ist das soweit korrekt oder ist irgwo ein leichtsinnsfehler drin?

20.05.2011, 17:17

René Gruber

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Zitat:

Original von fleurita
$\begin{eqnarray*} exp(A+B)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{k=0}^m \frac{m!}{k!*(m-k)!} A^k*B^{m-k} }{k!} \end{eqnarray*}$

Hier bist du gewaltig mit den Summenindizes durcheinandergekommen: Es ist generell nicht gestattet, bei ineinandergeschachtelten Summen mehrfach über denselben Index (hier: $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ) zu summieren!

Richtig eingesetzt ergibt sich hier mit einem neuen Summenindex $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ für die innere Summe

$\begin{eqnarray*} \exp(A+B)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{j=0}^k \frac{k!}{j!*(k-j)!} A^j*B^{k-j} }{k!} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du weitermachen.

21.05.2011, 14:45

fleurita

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$\begin{eqnarray*} \exp(A+B)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{j=0}^k \frac{k!}{j!*(k-j)!} A^j*B^{k-j} }{k!} \end{eqnarray*}$ soll gleich sein wie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m\frac{A^k B^{m-k} }{k!(m-k)!}=exp(A)*exp(B) \end{eqnarray*}$

des heißt es gilt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\sum\limits_{j=0}^k \frac{k!}{j!*(k-j)!} A^j*B^{k-j} }{k!}=\sum\limits_{k=0}^m\frac{A^k B^{m-k} }{k!(m-k)!} \end{eqnarray*}$

es verwirrt mich irgwie, dass in der linken gleichung die 2. summe von j=0 bis k geht. Bedeutet das, dass man zuerst die summe oberhalb des bruchstrichs "ausrechnet" und dieses ergebnis dann noch unter dem anderen epsilon "laufen lässt"?

also man kann übereinstimmungen rechts und links finden, aber letztendlich komm ich nit weiter...

21.05.2011, 14:57

fleurita

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die doppelsumme links bringt mich echt zum verzweifeln traurig

traurig

21.05.2011, 15:06

fleurita

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hmm okey ich glaub ich habs glei...

21.05.2011, 17:36

kiste

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Bei exp(A)*exp(B) hast du auch eine unendliche Summe, die hast du nur verschlampt!

21.05.2011, 19:51

fleurita

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ach deswegen hab ichs nit geschafft.... war ganz nah am ziel. Zumindest hab ich das gefühlt.

ahm also für die linke seite der gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\frac{\sum\limits_{j=0}^k \frac{k!}{j!*(k-j)!} A^j*B^{k-j} }{k!}=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{B^k}{k!}+\frac{A^1B^{k-1}}{1!(k-1)!}+\frac{A^2B^{k-2}}{2!(k-2)!}+...+\frac{A^kB^{k-k}}{k!(k-k)!}=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{j=0}^k\frac{A^jB^{k-j}}{j!(k-j)!} \end{eqnarray*}$

hoff das stimmt... =(

und rechts müsste ich dann (glaub ich), wenn du sagsch ich hab die unendliche summe vergessen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty\sum\limits_{j=0}^m\frac{A^j B^{m-j} }{j!(m-j)!} \end{eqnarray*}$

stimmt das so? bitte alles genau durchgucken, mach so viele leichtsinnsfehler... Forum Kloppe

Forum Kloppe

wenn dann j=m ist hätt ichs ja eeendlich geschafft! smile

smile

21.05.2011, 21:35

fleurita

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so eine letzte frage hab ich noch =)
hoff es ist nit schlimm, dass die mitlerweile nit mehr so viel mit dem titel zu tun hat...
kann sie auch gern als neuen beitrag stellen

also $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} \in Mat(nxn,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A*B=B*A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

es ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (A+B)^m=\sum\limits_{k=0}^m\frac{m!*A^kB^{m-k}}{k!(m-k)!} \end{eqnarray*}$

Ich wills mit vollst. induktion beweisen:

IA: Ist $\begin{eqnarray*} m=0 \Rightarrow (A+B)^0=\sum\limits_{k=0}^0\frac{0!*A^kB^{0-k}}{k!(0-k)!} \Leftrightarrow E_n=E_n \end{eqnarray*}$

I.Ann: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für das gilt $\begin{eqnarray*} (A+B)^n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!*A^kB^{n-k}}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

IS: Behauptung: es gilt auch für n+1

Beweis: $\begin{eqnarray*} (A+B)^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{(n+1)!*A^kB^{n+1-k}}{k!(n+1-k)!} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A+B)\sum\limits_{k=0}^n\frac{n!*A^{k}B^{n-k}}{k!(n-k)!} =\frac{(n+1)!*A^0B^{n+1-0}}{0!(n+1-0)!}+\frac{(n+1)!*A^1B^{n+1-1}}{1!(n+1-1)!}+...+\frac{(n+1)!*A^nB^{n+1-n}}{n!(n+1-n)!}+\frac{(n+1)!*A^{n+1}B^{n+1-n-1}}{(n+1)!(n+1-n-1)!} \end{eqnarray*}$

weiter komm ich nit, glaub hab irgwas falsch gemacht, nur ich sehs wieder mal nit... traurig

traurig

21.05.2011, 22:00

fleurita

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kanns nur noch ein bissel vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} (A+B)\sum\limits_{k=0}^n\frac{A^{k}B^{n-k}}{k!(n-k)!}=(\sum\limits_{k=0}^{n}\frac{(n+1)*A^kB^{n+1-k}}{k!(n+1-k)!})+\frac{A^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 11:26

fleurita

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kann mir jemand helfen? bins jetz nochmal durchgegangen und ich find echt kein fehler... traurig

traurig

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