Beweis, dass für jede Familie (Ki) von Teilmenge von K folgendes gilt

19.05.2011, 14:32

Mathe-Ersti2011

Beweis, dass für jede Familie (Ki) von Teilmenge von K folgendes gilt

Meine Frage:
Hallo,

ich weiß nicht wie ich an die Aufgabe ran gehen soll, bzw lösen soll.

Folgendes ist gegeben:

K ist eine Menge. Für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} L \subset K \end{eqnarray*}$ ist ihr Komplement in K definiert als $\begin{eqnarray*} SL:=K /L \end{eqnarray*}$ (/ soll ohne bedeuten). Naja und jetzt sollen wir zeigen, dass jede Familie $\begin{eqnarray*} (L_{i})_{i\in I} \end{eqnarray*}$ von Teilmengen von L gilt:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in I} (SK_{i})= S(\bigcup_{i\in I} K_{i}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich weiß, dass ich zwei Seiten zeigen muss:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ ":

$\begin{eqnarray*} \bigcap _{i\in I} (SK_{i})= \left\{k\in K|\forall i\in I: k\in SK_{i}\right\} \end{eqnarray*}$

" $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$ ":

$\begin{eqnarray*} S(\bigcup_{i\in I} K_{i}) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen??

19.05.2011, 14:49

zweiundvierzig

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Stichwort: de Morgansche Regeln für logische Aussagen.

19.05.2011, 15:58

Mathe-Ersti2011

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Also irgendwie steh ich auf den Schlauch...
Habe jetzt mal das hier gemacht (das hier ' soll die Umkehrung sein, habe leider keine im Formeleditor gesehen):

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in I}(SK_{i})= \left(\bigcap_{i\in I}(SK_{i})\right) ^{'} = \bigcup_{i\in I}(SK_{i})^{'} = \bigcup_{i\in I}(S^{'})(K_{i})^{'} \end{eqnarray*}$

kann da jetzt noch etwas umformen?

19.05.2011, 16:03

zweiundvierzig

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Was meinst Du jetzt genau mit '?

Bis auf die Verwirrung mit der notation ist das doch die Aussage, die zu zeigen sollst, also nicht der Beweis.

Siehe hier für den Schlüsselgedanken.

19.05.2011, 16:39

Mathe-Ersti2011

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Danke, dass du mir hilfst. Also ich kenn die de Morgansche Regeln, aber wie soll ich das auf dier Aufgabe anwenden. Vielleicht könntest du bzw. ihr mir nur den Anfagen zeigen, ich versuche dann weiter zumachen. Oder ihr könnt mir es ja anhand einem anderen Beispiel zeigen, wie das gehen soll.

Aber bitte keine dummen Kommentare!

19.05.2011, 19:28

zweiundvierzig

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Die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist eher unüblich und die Aufgabe scheint sich eher auf ein System $\begin{eqnarray*} (K_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$ von Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ zu beziehen. Das mengentheoretische Komplement kriegt man in LaTeX übrigens durch "\setminus".

Also, wir wollen für $\begin{eqnarray*} K_i^C := K \setminus K_i \end{eqnarray*}$ zeigen $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I} K_i^C = \left( \bigcup_{i \in I} K_i \right)^C \end{eqnarray*}$ . Wenn wir jetzt $\begin{eqnarray*} x \in \bigcap_{i \in I} K_i^C \end{eqnarray*}$ betrachten, bedeutet das, wie Du richtig geschrieben hast für alle $\begin{eqnarray*} i \in I \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x \in K_i^C \end{eqnarray*}$ . Wie kann man diese Aussage noch formulieren?

Edit: Wo sind hier dumme Kommentare zu lesen?

20.05.2011, 11:32

Mathe-Ersti2011

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Das mit den dummen Antworten ist nicht auf dich bezogen. Ich habe nur schon schlechte Erfahrungen gesammelt. Anstatt mir Tipps zugeben, wurde ich fertig gemacht...

ich finde es auf jeden Fall sehr nett von dir, dass du mir hilfst!!

Also ich kann ja die Aussage noch so formulieren:

für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} x\in K\setminus(K_{i}) \end{eqnarray*}$

so und was muss ich jetzt machen?

20.05.2011, 14:22

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Mathe-Ersti2011
Also ich kann ja die Aussage noch so formulieren:

für alle $\begin{eqnarray*} i\in I \end{eqnarray*}$ gilt, $\begin{eqnarray*} x\in K\setminus(K_{i}) \end{eqnarray*}$

Richtig, das ist der nächste Schritt. smile

Wie kann man Aussagen des Typs "für alle a gilt A" noch "etwas komplizierter" ausdrücken?

21.05.2011, 09:45

Mathe-Ersti2011

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Ok,

man könnte das auch noch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left\{x: \forall i\in I gilt x\in K\setminus K_{i}^{c}\right\} \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 15:30

Mathe-Ersti2011

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So und nun,

das andere kann ich ja auch noch so schreiben....

$\begin{eqnarray*} C(\bigcup_{i\in I} K_{i})= \left\{ x: \exists i\in I mit x\in K\setminus K_{i}^{c} \right\} \end{eqnarray*}$

Aber wie muss ich jetzt weiter machen, soll ich jetzt die "de Morgansche Regeln" anwenden?

Ich kann doch das hier auch noch so umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I} K_i^C = \left( \bigcap_{i \in I} K_i \right)^C \end{eqnarray*}$

bringt mir das was?

23.05.2011, 16:48

zweiundvierzig

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Nein, das Komplement vertauscht sich nicht mit den mengentheoretischen Verknüpfungsoperationen, sondern es dreht sie um, was doch der ganze Sinn der Aufgabe ist.

Beantworte am besten nochmal meine Frage:

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wie kann man Aussagen des Typs "für alle a gilt A" noch "etwas komplizierter" ausdrücken?

Damit meinte ich nicht, wie man das mit Formeln ausdrücken kann, sondern ich wollte auf eine aussagenlogisch gleichbedeutende Formulierung heraus.

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