Diff. Gleichung 2. Ordnung lösen

19.05.2011, 19:12	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Diff. Gleichung 2. Ordnung lösen Meine Frage: Hallo zusammen! Es wäre toll, wenn ihr mir helfen würde, eine DG 2. Ordnung mit AWP zu lösen. Und zwar: $\begin{eqnarray} y''=-(1+y'^2)^{3/2} , y(0)=0,y'(0)=0 \end{eqnarray}$ Es muss mit Hilfe von $\begin{eqnarray} z = y'(x) \end{eqnarray}$ Substitution und der Trennung der Variablen gelöst werden. Meine Ideen: Die genauer Lösung kenne ich: $\begin{eqnarray} y(x) = \sqrt{1-x^2}-1, x \in [0,1] \end{eqnarray}$ Danke im Voraus Gruß Inka
19.05.2011, 22:07	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie weit bist du denn schon? Hast du schon die DGL mit deiner Substitution z gelöst? Ganz ohne Eigenleitsung werde ich dir dir die Lösung hier nicht präsentieren. Gruß Johnsen
19.05.2011, 22:29	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, für die Antwort, ich habe mir schon überlegt, ob jemand sich überhaupt meldet! Ja, ein bisschen habe ich schon rumprobiert: $\begin{eqnarray} z=y'(x) -> z(0)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=y''(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=-(1+z^{2})^{3/2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{z'}{(1+z^{2})^{3/2}}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dz}{dx}\cdot\frac{1}{(1+z^{2})^{3/2}}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^z \! \frac{1}{(1+u^2)^{3/2}} \, du =-\int_0^x \!\, dt \end{eqnarray}$ jetzt fehlt mir komplett, wie ich das Intergral rechne. Ich habe folgende Substitutionen probiert: k = u², k = (1+u²) und natürlich k = (1+u²)^(3/2), aber dann bekomme ich wieder ein Intergral, das ich nicht lösen kann. Würde aber gerne wissen... Mit Maple, habe ich habe das Intergal gelöst. Habe jetzt so was: $\begin{eqnarray} \frac{z}{\sqrt{z^2+1}} = -x \end{eqnarray}$ was eigentlich $\begin{eqnarray} \frac{y'}{\sqrt{y'^2+1}} = -x \end{eqnarray}$ ist. Und weiter komme ich wieder nicht...
20.05.2011, 09:53	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! soweit hast du recht, du musst jedoch noch die Konstante beachten: $\begin{eqnarray} \frac{y'}{\sqrt{y'^2+1}} = -x+C \end{eqnarray}$ Du kannst hier gleich die Konstante C ausrechnen, indem du benutzt, dass y'(0)=0 ist. Und dann löst du diese Gleichung nach y´auf, machst Trennung der Variablen und integrierst dann. Oder möchtest du zuerst wissen, wie man auf dein (mit Maple) berechnetes Integral alleine kommt? Gruß Johnsen
20.05.2011, 13:21	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah danke! über C habe ich ganz vergessen...habe schon lange Integrale ohne Maple nicht gelöst... Also, $\begin{eqnarray} \frac{z}{\sqrt{z^2+1}} = -x + C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z(0)=0 \Rightarrow C=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{z^2}{z^2+1} \right) ^{1/2} = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(\frac{z^2+1}{z^2} \right) ^{-1/2} = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(1+\frac{1}{z^2} \right) ^{-1/2} = -x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z^2=\frac{1}{(-x)^{-2}-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^2} -1} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow y'=\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^y \! \, du = \int_0^x \! \left(\frac{t^2}{1-t^2} \right) ^{1/2} \, dt \end{eqnarray}$ das Integral kann leider auch nur mit Hilfe vom Maple lösen... bekomme so was: $\begin{eqnarray} y=\sqrt{1-x^2} + C \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} y(0) = 0 \Rightarrow C = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=\sqrt{1-x^2} -1 \end{eqnarray}$ was genau der Antwort passt!! Die Frage ist jetzt nun, wie man das $\begin{eqnarray} \int_0^z \! \frac{1}{(1+u^2)^{3/2} } \, du \end{eqnarray}$ und das $\begin{eqnarray} \int_0^x \! \left(\frac{t^2}{1-t^2} \right) ^{1/2} \, dt \end{eqnarray}$ integriert... Kannst Du mir ein paar Tips geben?
20.05.2011, 15:50	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem zweiten Intergal bin ich fertig : $\begin{eqnarray} \int_0^x \! \left(\frac{t^2}{1-t^2} \right) ^{1/2} \, dt = \int_0^x \! \frac{t}{\sqrt{1-t^2} } \, dt \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} t=sin(k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=arcsin(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dt=cos(k)dk \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \! \frac{sin(k)}{\sqrt{1-sin^2(k)} } \, dk = \int \!sin(k) \, dk = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -cos(k)+C=-cos(arcsin(t))+C= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[\left(-cos(arcsin(t))\right) ^{2}\right] ^{1/2}+C = \left[cos^2(arcsin(t))\right] ^{1/2}+C = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left[1-sin^2(arcsin(t))\right] ^{1/2}+C = \left[1-t^2\right] ^{1/2}+C = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{1-t^2} +C \end{eqnarray}$ und bei dem ersten Integral bin ich nur so weit: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(1+u^2)^{3/2}} \, du \end{eqnarray}$ Substitution: $\begin{eqnarray} u=tan(k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=arctan(u) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} du=\frac{dk}{cos^2(k)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \int \! \frac{1}{(1+tan^2(k))^{3/2}}\cdot \frac{1}{cos^2(k)} \, dk = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(cos^2(k))^{3/2}}\cdot \frac{1}{cos^2(k)} \, dk = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{cos^5(k)} \, dk = \int \! cos^{-5}(k) \, dk \end{eqnarray}$ und weiter komme ich nicht....
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20.05.2011, 16:46	Inka	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ne...ich habe mich da beim Umformen vertan! ja ist alles richtig! und es hat sich erledigt! aber trotzdem vielen Dank für die Hifle! Gruß

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