Lp räume

19.05.2011, 19:30

sophielo

Lp räume

Meine Frage:
Hi Leude,

hab ne Frage bezüglich Lp Räume in der Wahrscheinlichkeitstheorie ...
habe leider nicht soviel ahnung weil funktionalanalysis nicht gehört ...
jedenfalls hat mein lektor gemeint L1 Raum ist der raum aller zufallsvariablen deren 1 potenz integrierbar ist und 1 er norm endlich ... nun folglich ist der L2 Raum die Menge aller ZV deren 2 te potenz integrierbar ist und 2 er norm endlich usw ... NUN zu den Fragen:

1)was bringen mir diese definitionen was habe ich davon bezüglich der Wtherie
2) gibt es denn ZV deren 1 te potenz integrierbar und 2 te potenz nicht integrierbar wobei die Frage beliebig gestellt werden könnte z.b 8 te potenz usw ... also gibt es ZV die zwar element L1 aber nicht element L4 ... wenn ne ZV integrierbar ist wieso sollte die potenz davon nicht integrierbar sein ???

blick da grad nicht durch weil mir auch kein beispiel einfällt

merci schonmal für die vielen antworten hoffe ich smile

Meine Ideen:
?

19.05.2011, 20:07

zweiundvierzig

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RE: Lp räume

Zitat:

Original von sophielo
1)was bringen mir diese definitionen was habe ich davon bezüglich der Wtherie

Du möchtest den Erwartungswert einer Zufallsvariable haben und das ist das Integral über die Zufallsvariable bezüglich des zugehörigen Wahrscheinlichkeitsmaßes. Die lebesguesche Integrationstheorie hat sich da als sehr hilfreich erwiesen, z.B. weil Du damit eben bezüglich der gewünschten Maße integrieren kannst.

Zitat:

Original von sophielo
2) gibt es denn ZV deren 1 te potenz integrierbar und 2 te potenz nicht integrierbar wobei die Frage beliebig gestellt werden könnte z.b 8 te potenz usw ... also gibt es ZV die zwar element L1 aber nicht element L4 ... wenn ne ZV integrierbar ist wieso sollte die potenz davon nicht integrierbar sein ???

Für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p < q \leq \infty \end{eqnarray*}$ und einen (endlichen) Maßraum $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} L^q(E) \subset L^p(E) \end{eqnarray*}$ . Endlicher Maßraum heißt, dass das betrachtete Maß des ganzen Raumes endlich ist, also sind insbesondere Wahrscheinlichkeitsräume endliche Maßräume.

Eine Zufallsvariable auf ist $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -integrierbar genau dann, wenn ihre Vairanz endlich ist. So ist etwa eine relle Zufallsvariable mit Dichte $\begin{eqnarray*} \frac{3\sqrt{3}}{4\pi(1 + |x|^3)} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ -Funktion, aber nicht $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -integrierbar.

Hier hast Du ein Beispiel einer $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -, aber nicht $\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ -Funktion. Die gibt es, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ unendliches Maß hat und obige Inklusion der $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Räume nicht gilt.

Für die ganzen maßtheoretischen Grundlagen, solltest Du Dir vielleicht Elstrodt oder Klenke anschauen.

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