partielle diffbarkeit, stetigkeit

19.05.2011, 20:18

Osti

partielle diffbarkeit, stetigkeit

Ich beschäftige mich gerade mit partieller differenzierbarkeit und stetigkeit...
Ich soll mir ein Beispiel einer Funktion überlegen, die partiell diffbar aber nicht stetig ist...Bin auf wikipedia fündig geworden, da wurde folgendes beispiel genannt:

f(x)= x^2 * cos(1/x) für x versch. 0
x für x = 0

hier der link zu wiki

Vielleicht könnt ihr mir zeigen warum sie partiell diffbar und vor allem warum sie an der stelle 0 nicht stetig ist...schon mal vielen dank!

19.05.2011, 21:42

Cel

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Dass diese Funktion außerhalb der Null diffbar ist, sollte klar sein. Du kannst die Ableitung ja sofort hinschreiben.

Für die Ableitung in der Null hauen wir mal die Definition drauf:

$\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \end{eqnarray*}$ .

So, dann versuche mal, diesen Grenzwert auszurechnen. Sollte was endliches herauskommen.

23.05.2011, 15:53

Osti

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$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \frac{h^2*cos(1/h)}{h} = h*cos(1/h) -> 0 \end{eqnarray*}$

was bringt mir das jetzt?
Ich hab mir die Zeichnung des Graphen mal angesehen und mir ist klar das der Graph an der Stelle x=0 keinen Wert annimmt geht ja auch nicht weil ich nicht durch null teilen darf, das heißt ja das er an der stelle 0 nicht stetig ist nur wie kann ich das beweisen?

23.05.2011, 16:10

xenorange6

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Stetigkeit bei x=0 heißt, f(0)=lim(f(x)) für x->0, ie Limes und Funktionswert müssen übereinstimmen.
f(x) ist stetig bei x=0. Betrachte die Ableitung wie bei Wikipedia in deinem Link angegeben, und berechne den Grenzwert von f'(x)=2*x*cos(1/x)+sin(1/x), x ungleich 0. Da kommt was anderes raus als für 0=f'(0), was du ja oben mit dem Diff.quot. berechnet hast. Folglich ist f überall differenzierbar, aber f' ist nicht stetig in x=0, ie f ist nicht stetig differenzierbar.

23.05.2011, 17:51

Osti

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ok also dann mach ich das jetzt mal so:

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \frac{h^2*cos(1/h)}{h} = h*cos(1/h) -> 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(h)}{h} = \frac{2*h*cos(1/h)*sin(1/h)}{h} = 2*cos(1/h)*sin(1/h) -> 0 \end{eqnarray*}$ , da sin(1/h) -> 0 geht oder nicht?

Wo ist mein Fehler und ist das jetzt grundsätzlich richtig so um die Stetigkeit an der Stelle x=0 nachzuweisen?

23.05.2011, 18:13

xenorange6

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Zitat:

Original von Osti
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \frac{h^2*cos(1/h)}{h} = h*cos(1/h) -> 0 \end{eqnarray*}$

Bitte nicht Limes des Differenzenquotienten mit Limes der Funktion an einer Stelle verwechseln.
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f(x) = {x^2*cos(1/x)} = 0 \end{eqnarray*}$ <=> f ist stetig in x=0

(Beweis des Limes z.B. unter Nutzung von -1 <= sin(...) <= 1)

Für die Stetigkeit von f' muss also gelten
$\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} 2*x*cos(1/x)+sin(1/x) = \end{eqnarray*}$ Was nicht gilt, da rechter Grenzwert divergiert => f' ist nicht stetig in x=0.

Zitat:

Original von Osti
da sin(1/h) -> 0 geht oder nicht?

Sicherlich nicht. Wie kommst du darauf?

Zitat:

Original von Osti
Wo ist mein Fehler und ist das jetzt grundsätzlich richtig so um die Stetigkeit an der Stelle x=0 nachzuweisen?

$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 = \lim_{x \to 0} f(x) \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung für Stetigkeit.
Mit $\begin{eqnarray*} f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ berechnest du die Ableitung an der Stelle x. Hier ist x=0 und f(x=0)=0.
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} \end{eqnarray*}$ ist Unsinn.

23.05.2011, 18:26

Gastmathematiker

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RE: partielle diffbarkeit, stetigkeit

Zitat:

Original von Osti
Ich soll mir ein Beispiel einer Funktion überlegen, die partiell diffbar aber nicht stetig ist...Bin auf wikipedia fündig geworden, da wurde folgendes beispiel genannt:

f(x)= x^2 * cos(1/x) für x versch. 0
x für x = 0

hier der link zu wiki

Vielleicht könnt ihr mir zeigen warum sie partiell diffbar und vor allem warum sie an der stelle 0 nicht stetig ist...schon mal vielen dank!

Das Beispiel passt gar nicht zu dem was du suchst.

23.05.2011, 18:40

Osti

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achja es heißt ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2x*cos(1/x)+sin(1/x) \end{eqnarray*}$ ich hab mich immer vertan weil ich *sin(1/x) immer geschrieben hab...und der sin(1/x) geht dann nicht gegen 0 für x gegen 0 sondern der springt immer zwischen 1 und -1 oder? aber sin(x) würde gegen 0 gehen für x gegen 0?

den rest mit der Stetigkeit hab ich jetzt verstanden, vielen dank!

23.05.2011, 19:15

Osti

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@ gastmathematiker, warum nicht?

23.05.2011, 21:49

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Osti
@ gastmathematiker, warum nicht?

Weil die Funktion stetig ist. Der gewünschte Effekt kann auch frühestens im zweidimensionalen auftreten.

24.05.2011, 00:50

Osti

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jetzt versteh ich garnix mehr...warum steht das dann in wiki so drin, haben wir dann die grenzwerte falsch berechnet?

24.05.2011, 01:18

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Osti
jetzt versteh ich garnix mehr...warum steht das dann in wiki so drin, haben wir dann die grenzwerte falsch berechnet?

Habe mir gerade den Wiki Artikel mal angesehen und wie erwartet festgestellt, dass das natürlich nicht dadrin steht. Das ist im Wiki-Artikel ein (richtiges) Beispiel, für ein vollkommen anderes Problem. Da gehts nämlich darum, dass die Ableitung nicht stetig ist, die Funktion selber aber natürlich, denn sie ist ja diffbar.

24.05.2011, 08:04

xenorange6

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Ein Beispiel aus unserer Vorlesung:
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2\to\mathbb R^2 ; f(x1,x2)=\begin{cases} {x_1^2\over x_2} sonst \\ 0 ; x_1=0\end{cases} \end{eqnarray*}$ betrachte Punkt (0,0)
Hier existieren alle Richtungsableitungen (und damit auch die partiellen), aber f ist nicht stetig in (0,0), was man leicht daran sieht, indem man sich $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}f({1\over n^2},{1\over n}) \end{eqnarray*}$ anschaut.
Jetzt musst du noch die Logik nachvollziehen und bestätigen, dass die part. Ableitungen tatsächlich in (0,0) existieren.

25.05.2011, 16:24

Osti

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Ok, hab jetzt ein anderes beispiel im netz gefunden was sehr gut erklärt war habs jetzt verstanden, vielen dank euch!

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