Kanonischer Isomorphismus

19.05.2011, 20:43	Calla	Auf diesen Beitrag antworten »
Kanonischer Isomorphismus Meine Frage: Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit folgender Aufgabe: Gegeben sind $\begin{eqnarray} \phi \left(x\right) = \left(y \mapsto b\left(x,y\right) \right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \left(y\right) = \left(x \mapsto b\left(x,y\right) \right) \end{eqnarray}$ . Seien $\begin{eqnarray} \iota_{V} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \iota_{w} \end{eqnarray}$ kanonische Isomorphismen zwischen V und V bzw. W und W. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \circ \iota_{V} = \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \circ \iota_{W} = \psi \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich muss ja zeigen, dass im( $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \circ \iota_{V} \end{eqnarray}$ )= im( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) und im( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \circ \iota_{W} \end{eqnarray}$ )= im( $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ ). Aber ich weiß gar nicht so genau, wie ich mir die duale Abbildung eigentlich vorstellen muss. Vielleicht wär mir schon geholfen, wenn mir das jemand verständlich erklären könnte. Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
19.05.2011, 21:01	zweiundvierzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, du musst schon zeigen, dass die entsprechenden Gleichheiten von Abbildungen gelten. Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der zugrundeliegende Körper. Der kanonische Isomorphismus $\begin{eqnarray} \iota_V := \iota \colon V \to V^{} = \mathrm{Hom}(V^,K) \end{eqnarray}$ bildet Vektoren auf Linearformen ab. Für $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ ist das Element $\begin{eqnarray} \iota(v) \end{eqnarray}$ also wiederum eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} V^* \to K \end{eqnarray}$ . Um zu sehen, was sie macht, müssen wir sie zuerst an einer Funktion $\begin{eqnarray} f \in V^* \end{eqnarray}$ auswerten und diese wiederum an einem Punkt $\begin{eqnarray} w \in V \end{eqnarray}$ . Man definiert $\begin{eqnarray} \iota(v)(f) \end{eqnarray}$ als diejenige Abbildung, die alle $\begin{eqnarray} w \in V \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} f(v) \in K \end{eqnarray}$ Abbildet. Es gilt also $\begin{eqnarray} \iota(v)(f)(w) = \iota(v)(f(w)) = f(v) \end{eqnarray}$ . Vorsicht, diese kanonische Abbildung ist zwar für endlichdimensionale Räume (allgemeiner reflexive Räume) ein Isomorphismus, i.a. aber nicht. Was die dualen Abbildungen $\begin{eqnarray} \varphi^, \psi^ \end{eqnarray*}$ machen, ist hoffentlich klar. Versuche jetzt mal, das erste Beispiel durchzurechnen und mache Dir ähnlich wie oben in jedem Schritt klar, in welchem Raum Du gerade bist und welche Elemente dort leben.

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