Stetigkeit

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Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit
Hallo. Sitze hier grad vor einer "blöden" aufgabe, die ich nicht lösen kann.... traurig

Es sei : [0,1] --> {0,1} die Dirichlet Funktion. Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen f : [0,1] --> für die g : [0,1] --> , stetig ist.


Ich weiß, dass , falls x irrational
und falls x rational

Aber was genau muss ich jetzt machen? Wie löst man diese aufgabe?
Wär echt super wenn ihr mir hier helfen könntet.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Für jedes gibt es eine Folge , sodass ist. Da stetig sein soll, muss gelten.
Kannst du damit was anfangen?

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe, was du schreibst, aber weiß nicht wie ich das in die lösung der aufgabe einbauen kann. verwirrt
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Da auch stetig sein soll, folgt für alle :



.

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

und daraus folgt f(x)(x-1) = 0

und da diese Gleichung für alle gelten muss, muss f(x)=0 sein, also die Nullabbildung.
Ist das richtig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, zunächst folgt nur



für alle . Da aber stetig sein soll, muss das zusätzlich auch noch für gelten. In der Tat muss also die Nullfunktion sein.

Gruß MSS
 
 
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

war's das dann jetzt schon? ist die aufgabe schon fertig?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

irgendwie verstehe ich nach erneutem überdenken der Aufgabe nicht folgede Zeile, die du schreibst: "Da f aber stetig sein soll, muss das zusätzlich noch für x gelten." Für mich würde es nur sinn machen wenn man sagt, dass wenn g(x) in jedem x aus den rationalen Zahlen aus [0,1] stetig sein soll, ja obige Gleichung für alle x aus [0,1] erfüllt sein muss und daher f(x) = 0 sein muss. Wär nett wenn du zu dem hier nochmal was schreiben könntest. danke dir schonmal smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch hergeleitet, dass für alle gilt:

.

Für alle folgt daraus . Für bedeutet die Gleichung nur:

.

Über können wir aber keine Aussage machen. Da aber stetig sein soll, muss zusätzlich noch gelten.

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, bis auf den letzten Satz. WARUM muss f(1)=0 sein, wenn f stetig ist. das ist ganau das, was ich nicht verstehe.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte doch anschaulich ganz klar sein.
Angenommen, es wäre . Ist dann im Punkt stetig?

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Man weiß doch jetzt dann aber eigentlich nur, dass f(x)=0 für alle rationalen x, denn x ist ja nach annahme rational.
muss man nicht noch zeigen, dass das auch für die irrationalen Zahlen gilt?
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Da auch stetig sein soll, folgt für alle :



.

Gruß MSS



Damit gilt die Gleichung f(x)(x-1) doch nur für rationale x oder ?

Muss man denn nun nichts dazu sagen, was ist, wenn x irrational ist?

oder versteh ich hier grad alles ein wenig falsch?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nichts falsch verstanden. Ich hab nur den Faden etwas verloren, sorry.
Also, wir wissen, dass für alle rationalen gilt:

.

Sei beliebig und aber irrational. Dann gibt es eine Folge von rationalen Zahlen , sodass ist. Daraus folgt dann wegen der Stetigkeit von was für ? Und zu . Nimm dir die Folge

.

Wogegen geht ? Wogegen geht ? Was ist damit ?

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

geht gegen 1 und geht gegen 0, da ja f() = 0 für alle n, da rational und in [0,1) .... Also muss f(x) an der Stelle 1 ebenfalls Null sein, wenn f stetig sein soll. Richtig?


Aber was gilt für die Folgen von rationalen Zahlen, die einen irrationalen Grenzwert haben? Das weiß ich nicht so wirklich. Doch dasselbe wie oben oder?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und ja. Wegen und für alle folgt

.

Gruß MSS
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Für jedes gibt es eine Folge , sodass ist. Da stetig sein soll, muss gelten.
Kannst du damit was anfangen?

Gruß MSS



Hierzu hätt ich mal ne frage. warum gibt es zu jeder rationalen zahl x eine folge irrationaler zahlen, die gegen x konvergiert?
kann mir das mal einer ein bisschen begründen?
Franzi06 Auf diesen Beitrag antworten »

nee, das ist mir doch klar. smile

ich wollte wissen warum es zu jeder irrationalem zahle x eine folge rationaler zahlen gibt, die gegen x konvergiert?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Jede reelle Zahl lässt sich als Dezimalbruch schreiben. Betrachte die Folge der Dezimalbrüche, wobei du das -te Glied erhältst, indem du den Dezimalbruch von einfach nach der -ten Stelle nach dem Komma abbrichst. Dann erhältst du eine Folge rationaler Zahlen, die gegen konvergiert.

Gruß MSS
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