Von der geometrischen zur negativen Binomialverteilung

19.05.2011, 21:21	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Von der geometrischen zur negativen Binomialverteilung Moin! Ich bin gerade dabei für die Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen, die beide geometrisch mit dem Parameter p verteilt sind, zu zeigen, dass die Verteilung der Summe der beiden der negativen Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray} r=2 \end{eqnarray}$ entspricht. Folgendes Vorgehen: $\begin{eqnarray} P(X_{1}+X_{2}=n)=\sum\limits_{k=0}^n P(X_{1}=k)P(X_{2}=n-k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=0}^n p(1-p)^{k-1}p(1-p)^{n-k-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=0}^n p^{2}(1-p)^{n-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(n+1)p^{2}(1-p)^{n-2} \end{eqnarray}$ Laut dem Eintrag bei Wikipedia über die negative Binomialverteilung müsste ich aber für $\begin{eqnarray} r=2 \end{eqnarray}$ statt dem $\begin{eqnarray} (n+1) \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} (n-1) \end{eqnarray}$ in der Formel stehen haben. Kann mir das jemand erklären? Danke!
19.05.2011, 21:26	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie groß sind $\begin{eqnarray} P(X_1=0) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} P(X_2=0) \end{eqnarray}$ wirklich ?
19.05.2011, 21:33	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahh! Also die Summe nur von 1 bis n-1 laufen lassen, weil $\begin{eqnarray} P(X_{1}=0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P(X_{2}=0) \end{eqnarray}$ nicht sinnvoll existieren? (Entsprächen dann der Wahrscheinlichkeit, im nullten Versuch einen Erfolg zu erzielen?)
19.05.2011, 21:36	M.Stautz	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hast du richtig erkannt Thermi!!
19.05.2011, 21:37	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es - du hast oben die Formeln außerhalb ihres Gültigkeitsbereiches verwendet. Tatsächlich ist $\begin{eqnarray} P(X_1=0)=P(X_2=0)=0 \end{eqnarray}$ .
19.05.2011, 21:48	Thermi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke HAL und Mr. J.M. Stautz
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