Grenzwert einer Reihe durch Partialsummen der Reihe berechnen

19.05.2011, 22:49

ColceHerzog91

Grenzwert einer Reihe durch Partialsummen der Reihe berechnen

Meine Frage:
Hallo Augenzwinkern

Ich muss folgendes machen: $\begin{eqnarray*} f_x:= \frac{1}{x^2-1} \end{eqnarray*}$
Dort soll ich den Grenzwert bestimmen, mittels einer Formel für die Partialsummen der Reihe x= 2 bis unendlich...

Meine Ideen:
Ich habe bisher an folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2-1} = \frac{1+x-x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x}{x^2-1} - \frac{x}{x^2-1} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich diverse Sachen ausprobiert, habe mehrfach probiert das x auszuklammern und zu kürzen etc... ich komm leider nicht weiter

Für Tipps wäre ich sehr dankbar!

19.05.2011, 23:59

Johnsen

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Hi!

ich würde den Nenner aufteilen mithilfe der 3. binomischen Formel, dann eine Partialbruchzerlegung machen, die Summe auseinanderziehen und dann eine kleine Indexverschiebung und du bist Ruck-Zuck beim richtigen Ergebnis!

Gruß

Johnsen

20.05.2011, 00:21

ColceHerzog91

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Hi! Danke erstmal für die Antwort Augenzwinkern

ich habe die 3.binomische Formel gebildet und probiert eine Partialbruchzerlegung durchzuführen, das sieht wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+1)*(n-1)} \end{eqnarray*}$

Die Partialbruchzerlegung habe ich noch nicht ganz verstanden, ich dachte das wäre wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n-1} \end{eqnarray*}$

jetzt suche ich ein A und ein B für das gilt:

A*(n+1) + B*(n-1) = 1, korrekt?

das finde ich nämlich nicht

Grüße

20.05.2011, 00:47

Johnsen

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nicht ganz korrekt:

A(n-1) + B(n+1) = 1

das muss gelten! Du musst ja quasi den Hauptnenner bilden und dann den Zähler anschauen. So kannst du A und B bestimmen!

20.05.2011, 00:55

ColceHerzog91

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Stimmt, aber ist das in meinem Fall, der Addition, nicht egal? (Nur in dem Beispiel jetzt)

ich komme auch mit An-A + Bn-B nicht auf die 1 unglücklich

20.05.2011, 01:01

ColceHerzog91

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ich meine natürlich An-A + Bn+B = 1

da könnte ich jetzt das n rausziehn und erhalte: n*(A+B) -A + B = 1

nichtsdestrotrotz, wenn damit das n ausgelöscht werden kann gilt:
A+B = 0

damit muss also -A + B = 1 sein

Ist das nicht ein Widerspruch?

20.05.2011, 01:02

Johnsen

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Nein, lös deine beiden Gleichungen! Was kommt für A und B heraus? Das ist kein Widerspruch, da ja nicht 2 mal die gleiche Gleichung dasteht, einmal ist es ja eine Differenz!

20.05.2011, 01:04

ColceHerzog91

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huch...

A ist - B

Dann gilt B+B = 1

Also ist B = 1/2

dann ist A = - 1/2

super smile

und nun gilt was zu machen?

20.05.2011, 01:07

ColceHerzog91

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[latex] \frac{-1}{2n-2} + \frac{1}{2n+2}[\latex]

hätte ich nun, schauen wie die Indexe sich jetzt verhalten und hoffen dass sie sich auslöschen?

20.05.2011, 01:07

Johnsen

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Das Einsetzen, die Summe auseinanderziehen, da du ja jetzt eine Summe hast und kein produkt mehr, und dann eine Indexverschiebung, damit die Reihe sehr einfach wird!

Gruß

Johnsen

20.05.2011, 01:11

ColceHerzog91

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Okay,

ich sehe gerade beim testen, dass sich viele Summanden auslöschen.

Am Ende hätte ich dann noch $\begin{eqnarray*} \frac{-3}{4} + \frac{1}{2n+2} \end{eqnarray*}$ wenn ich mich nicht vertue, damit ist der Grenzwert = -3/4 ?

grüße und danke dass du mir noch so spät antwortest

20.05.2011, 01:11

Johnsen

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$\begin{eqnarray*} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{2(x-1)}\,-\,\sum_{x=2}^{\infty}\frac{1}{2(x+1)} \end{eqnarray*}$

1/2 kannst du ausklammern und dann kannst du den hinteren Index verschieben und es hebt sich sehr viel weg, bis auf was?

20.05.2011, 01:12

Johnsen

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Du hast beim Einsetzten einmal ein - vertauscht bzw. A und B verwechselt, deswegen bekommst du ein - vor 3/4, das da nicht hingehört, es kommt nämlcih 3/4 heraus, wie soll auch was negatives herauskommen, wenn nur positive Zahlen addiert werden ;-)

nächtlichen Gruß

Johnsen

20.05.2011, 01:13

ColceHerzog91

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super, ich danke dir vielmals!!

20.05.2011, 01:15

Johnsen

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gern geschehen!

Gute Nacht!

20.05.2011, 08:49

René Gruber

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Zitat:

Original von Johnsen
$\begin{eqnarray*} \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{2(x-1)}\,-\,\sum_{x=2}^{\infty}\frac{1}{2(x+1)} \end{eqnarray*}$

Eine denkbar schlechte Idee, eine konvergente Reihe als Differenz zweier divergenter Reihen darzustellen. unglücklich

Diese Darstellung als Differenz ist allenfalls noch für die Partialsummen denkbar, d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{x=2}^{k} \frac{1}{x^2-1} = \sum_{x=2}^{k} \left( \frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)} \right) = \sum_{x=2}^{k} \frac{1}{2(x-1)} ~ - ~ \sum_{x=2}^{k}\frac{1}{2(x+1)} \end{eqnarray*}$ .

Dies stimmt für sämtliche endlichen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Beim Übergang $\begin{eqnarray*} k\to\infty \end{eqnarray*}$ stimmt aber nur noch die erste Gleichheit, der mittlere Term hat dann die sogenannte Teleskopreihenstruktur - das zweite Gleichheitszeichen stimmt aber nicht mehr, da der letzte Term ganz rechts wie gesagt dann gar nicht definiert ist, wegen Struktur $\begin{eqnarray*} \infty-\infty \end{eqnarray*}$ .

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