Entscheidbarkeit ? |
| 20.05.2011, 12:28 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Entscheidbarkeit ? Es wird erfolgreich ein Beweis durch Widerspruch geführt. Folgt daraus die Existent eines direkten Beweises (also direkt aus den Axiomen schließen) ? Eine Aussage A wird als wahr behauptet. In der Regel gilt ja das Prinzip ( A oder nichtA ). Angenommen, es wird bewiesen, daß sowohl (A), als auch (nichtA) falsch sind. Welche Erkenntnis habe ich daraus zu ziehen? |
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| 20.05.2011, 13:53 | greeven | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich denke: a) Nein, folgert sich nicht daraus. ( Im Kopf habe ich dabei den Gödel. ) b) Wenn du dich in der klassischen Logik befindest kann das einfach nicht vorkommen. Deine Schlussfolgerung müsste also lauten: Ich habe einen Fehler gemacht. Angaben ohne Gewähr. |
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| 22.05.2011, 17:57 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was haltet ihr von dieser Vorgehensweise? Es gelte: Jede Aussage A läßt sich in die Klasse "Zulässig" oder "Unzulässig" einteilen. "Zulässig" genau dann, wenn beweisbar ist: A ist wahr (falsch) und nichtA ist falsch (wahr). (Sollte dieses Axiom in die Geschichte eingehen, nennt es bitte nach mir, also "Gastaxiom"). Folgerung: Da jeder Beweis danach trachtet die klassische Wahrheit von A festzustellen, wird implizit (übergeordnet) immer behauptet, A sei zulässig, was zulässig wäre. |
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| 22.05.2011, 21:07 | greeven | Auf diesen Beitrag antworten » |
Davon halte ich wenig, da man in der Aussagenlogik bzw Prädikatenlogik ( Und das kommt ja eh vor allem, wenn ich mich nicht irre ) sich genau darüber Gedanken macht, was zulässige Aussagen sind und was nicht. Aber die Gedanken, die du dir machst finde ich super. ;-) Vielleicht kennst du den Unvollständigkeitssatz von Gödel noch nicht? Sollte das der Fall sein, dann kann ich mir gut vorstellen, dass dich der entsprechende Wikipediaartikel in pures Staunen versetzt. |
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| 25.05.2011, 12:59 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das wiki hat mich wirklich zum Staunen gebracht! Da muß man wohl das ganze Thema durch und durch verstanden haben. Das ist fast eine Beschäftigungstherapie. Wie will man das alles im großen mathematischen Zusammenhang jemals durcharbeiten und überprüfen? Es gibt veschiedene Modelle in der Geometrie, bei den Zahlbereichen, den Mengen, ja sogar in der klassischen Logik. Angenommen, ich wollte eine große Theorie beweisen, also die Fields-Medaille gewinnen, auf welchen Modellen darf man beweisen? Die Spielregeln sind ja gar nicht festgelegt und das ist Betrug! Immerhin geht es bei so einer Medaille vor allen Dingen um sehr viel Preisgeld. --------------- Der indirekte Weg dies Gestrüpp zu durchschauen ist wohl ein Beispiel zu geben und es in das Theoriekomplex einordnen zu lassen. Ich greife daher Deinen Punkt b) auf, greeven: Satz 1: seh ich nicht so, denn einerseits kommen solche Widersprüche praktisch vor, oder wills Du das per Axiom verbieten? Daraus folgt die Notwendigkeit einer Untersuchung. Andererseits weist man den Widerspruch mit rein klassischen Schließungsregeln nach. Bsp.: ---------- ---------- Verschiedene Elemente liegen vor. Es gelten die Gruppenaxiome, jedoch für ein Nullelement: (1) r + 0 = r , r bezeichne die regulären Elemente. (2) Zudem gelte nur für die regulären Elemente: r + r istnicht r . Beh.1: Auch für 0 gelte (1): 0 + 0 = 0 folgt Widerspruch zu (2), da nach (1) Null jetzt regulär. Beh.2: Für Null gelte (1) nicht: 0 + 0 istnicht 0 daher Null nicht regulär (1), also Wid. zu (2), da nach (2) Null regulär ist. ---------- Wo liegt der Fehler; in der Axiomatik oder der Beh.(Aussage)? (statt regulär kann man ja auch nichtnullig sagen) ---------- (In meiner Bescheidenheit will ich vorsorglich anmerken, daß ich noch sehr weit von der Medaille entfernt bin) |
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| 25.05.2011, 19:25 | greeven | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du meinst das so? Whiteboardaufschrieb Dann habe ich mal nach regulär gegoogelt und diesen Wikipediaartikel gefunden. Ich denke deshalb, das nummero uno falsch ist, denn regulär ist so nicht definiert, wie du das gemacht hast. |
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| 27.05.2011, 14:23 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nochmals vielen Dank für Deine Mühe, greeven, und dieses für mich kontruktive, hochwertige Gespräch. Jetzt hätte ich in dem Zusammenhang noch eine (Experten?)-Frage, bei der es mit meinem Verständnis noch sehr, sehr hakt. Zunächst, wie immer sehr wichtig, zur Definition: Eine Mengenlehre, egal ob naiv oder axiomatisch, geht grunsätzlich von folgendem aus: Es liegt ein Bereich von Dingen vor (könnte man Mengen nennen) und eine Elementbeziehung mit Eigenschaft A steht in Beziehung zu B oder eben nicht. Ist das soweit korrekt? |
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| 27.05.2011, 18:39 | greeven | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dass ist richtig soweit ja. Nochmal in meinen Worten: Man hat zuerst Objekte, die sich durch Eigenschaften auszeichnen. (Deswegen sind sie für uns überhaupt erst “da“.) Objekte mit gleichen Eigenschaften kann man in Mengen packen. ( Mengen sind Ansammlungen von Objekten mit einer gleichen Eigenschaft. ) Für den nächsten Schritt ist das Stichwort “Relation“. ( So ordnet man dann zum Beispiel die Menge der Zahlen.) |
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| 27.05.2011, 19:43 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zunächst: mit "regulär" meinte ich hier im Sinne meiner Definition, also in etwa wie "normal", nicht wie in Mathe vordefiniert. Eine Unterscheidung in Nullelemente (nichtreg.) und "normale" Elemente (reg.) ist ja legitim, erst recht der Nachweis, zu welchem Bereich denn ein Element gehöre. Das wollte ich für die Null nachweisen so, wie von Dir vorgestellt außer, drehe den Folgepfeil in (1) um und behaupte in (2) Null sei reg.. ---------------------- ---------------------- Jetzt: Zitate Wiki: Zermelo-Mengenlehre: Zeile 6: Seine sieben Mengenaxiome, die vor allem die Existenz von Mengen sichern, erwiesen sich als trag...... Axiom 2: Sind a, b irgend zwei Dinge des Bereichs, so existiert immer eine Menge {a,b} welche sowohl a als auch b, aber kein von beiden verschiedenes Ding als Element enthält. --------------- Warum muß die Existenz (Axiom 2) postuliert werden ??? Denn jetzt leite ich diese her !!! Also Achtung: Spezialbsp.: Geg.: Ein Bereich (der ja immer existieren darf) mit mind. 4 Dingen a,b,c,d und wie folgt von mir festgelegt (was auch zulässig ist): 1) a Element von c 2) b Element von c 3) d nicht Element von c Folgt: sieh, da ist es, das zweielementige Ding c. Was zu beweisen war. ? . ---------------- (meine angemerkte Distanz zur Medaille will ich insoweit einschränken, daß ich diese nur glaube). |
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| 30.05.2011, 08:01 | Gast1233 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi greeven ! Ich möchte abschließend noch eine Frage zur Logik anhängen, denn Du hast mich schwer ins Grübeln gebracht. Sehr, sehr wage habe ich mich an einen Begriff erinnert, suchte in einem Buch und fand auch das Gesuchte -> "intensional". Statt viele Fragen zu stellen oder zu erläutern will ich einfach eine Behauptung in den Raum werfen. Behauptung: In der Logik wird das Symbol "=>", d.h. die Implikation "wenn..., dann (folgt)", fast ausschließlich als zweistellige Funktion gebraucht, also extensional. In allen anderen Disziplinen der Mathematik hingegen ist 'A => B' intensional definiert, also als einstellige Funktion B(A). |
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| 30.05.2011, 11:06 | greeven | Auf diesen Beitrag antworten » |
Entschuldige ich kann damit nichts anfange. Also ich kann mir diesen Wikipediaartikel dazu durchlesen und versuchen deine Behauptung zu widerlegen oder zu untermauern, aber früher oder später würde das - denke ich - auf große Diskussionen bzw Konversationen hinauslaufen in denen man sich im Kreise dreht bis einem schwindelig wird, da vieles nur ein "Streit um Worte" sein würde. Prinzipiell mache ich sowas gern, aber momentan habe ich dafür leider keine Zeit. Sry |
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