rot, div

20.05.2011, 13:31

Gast11022013

rot, div

Meine Frage:
Hallo, wie berechnet man

$\begin{eqnarray*} div(v\times w) \end{eqnarray*}$ , wobei in Klammern das Kreuzprodukt der Vektoren $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w=\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemeint ist

?

Meine Ideen:
Also $\begin{eqnarray*} v\times w=\begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2 \\ v_3w_1-v_1w_3 \\ v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was ist davon die Divergenz?

20.05.2011, 13:41

Karhunen

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RE: rot, div
Weißt du denn, was die Divergenz allgemein ist? Wenn nicht, dann kannst du ja googeln/wikipedian.

Ansonsten kannst du doch einfach mal sagen, wo dein Problem genau liegt.

20.05.2011, 13:47

Gast11022013

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RE: rot, div
Ich weiß im Grunde schon, was die Divergenz ist.

Mein Problem ist Folgendes.

Ich soll zeigen:

$\begin{eqnarray*} div(v\times w)=<rot v,w>-<v,rot w> \end{eqnarray*}$

Ich er erhalte für die rechte Seite 12 Ausdrücke (Additionen und Subtraktionen), aber meiner Meinung nách ist

$\begin{eqnarray*} div(v\times w)=(\frac{\partial v_2w_3}{\partial x}-\frac{\partial v_3w_2}{\partial x}+\frac{\partial v_3w_1}{\partial y}-\frac{\partial v_1w_3}{\partial y}+\frac{\partial v_2w_2}{\partial z}-\frac{\partial v_2w_1}{\partial z} \end{eqnarray*}$

Das sind nur 6 Terme und irgendwie stimmt da was auf der rechten oder linken Seite nicht.

20.05.2011, 14:13

Karhunen

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Alles richtig soweit.

Und jetzt differenzierst du diese sechs Summanden noch nach der Produktregel und kommst somit auf die 12 Stück, die du mit der anderen Formel berechnet hast.

Grüße

20.05.2011, 14:40

Gast11022013

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Zitat:

Original von Karhunen
Alles richtig soweit.

Und jetzt differenzierst du diese sechs Summanden noch nach der Produktregel und kommst somit auf die 12 Stück, die du mit der anderen Formel berechnet hast.

Grüße

Du meinst, dass ich jetzt beispielsweise den Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{\partial v_2w_3}{\partial x} \end{eqnarray*}$ wie folgt ableite:

$\begin{eqnarray*} = \frac{\partial v_2}{\partial x}\cdot w_3 + v_2\cdot \frac{\partial w_3}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Ja, das kommt hin.

Vielen Dank.

Nochmal eine andere Frage.

In der Aufgabenstellung steht nur:
Seien v und w Vektorfelder und f Skalarfeld (jeweils im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und genügend oft differenzierbar).

Und nun soll ich u.a. auch noch zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} div rot v=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ich habe dann

$\begin{eqnarray*} div rot v= \frac{\partial^2 v_3}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 v_2}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 v_1}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 v_3}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^2 v_2}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^2 v_1}{\partial z \partial y} \end{eqnarray*}$

Das ist doch aber nur Null, wenn man jetzt davon ausgesehen kann, dass man den Satz von Schwarz benutzen kann. Dafür müssten die Komponenten ja jeweils $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ - Funktionen sein. Nun steht in der Aufgabenstellung zwar, dassalles jeweils genügend oft differenzierbar ist, aber von stetig differenzierbar steht da ja nichts.

Das verwundert mich.

20.05.2011, 14:55

Karhunen

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Jede differenzierbare Funktion ist stetig, oder?

20.05.2011, 15:03

Gast11022013

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Das ist natürlich wahr.

Ohje, wie peinlich.

Hammer

20.05.2011, 16:00

Gast11022013

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Noch zwei solche Aufgaben, die mich ein bisschen in den Rechen-Wahnsinn treiben:

Man zeige

1. $\begin{eqnarray*} rot (rot (v))=grad (div (v)) - \Delta v \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} rot(fv)=(grad (f))\times v+f(rot(v)) \end{eqnarray*}$

Wobei v und w wieder Vektorfelder im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ sein sollen und genügend oft differenzierbar und f Skalrfeld im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und genügend oft differenzierbar.

Ohje!

Zu 1.)

RHS:

$\begin{eqnarray*} grad(\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z}) =? \end{eqnarray*}$

Was ist denn dieser Gradient jetzt?

$\begin{eqnarray*} \Delta v=\frac{\partial^2 v_1}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 v_2}{\partial^2 y}+\frac{\partial v_3}{\partial^2 z} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?---

20.05.2011, 16:45

Karhunen

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Das $\begin{eqnarray*} \Delta \end{eqnarray*}$ sollte so stimmen, sagt zumindest Wikipedia Augenzwinkern

Und der Gradient ist dann der Vektor der ersten partiellen Ableitungen, hat also zum Beispiel als x-Komponente
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial v_1}{\partial ^2 x} + \frac{\partial v_2}{\partial y \partial x} + \frac{\partial v_3}{\partial z \partial x} \end{eqnarray*}$
Und damit kannst du jetzt bestimmt noch viel rumrechnen. Viel Erfolg!

20.05.2011, 18:54

Gast11022013

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Habe ich das richtig verstanden?

RHS:

$\begin{eqnarray*} grad(\frac{\partial v_1}{\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial z})-\Delta v \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} \frac{\partial v_1}{\partial^2 x}+\frac{\partial v_2}{\partial x\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial x\partial z} \\ \frac{\partial v_1}{\partial y\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial^2 y}+\frac{\partial v_3}{\partial y\partial z} \\ \frac{\partial v_1}{\partial z\partial x}+\frac{\partial v_2}{\partial z\partial y}+\frac{\partial v_3}{\partial^2 z} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 v_1}{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 v_2}{\partial^2 y}+\frac{\partial^2 v_3}{\partial^2 z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?

20.05.2011, 19:47

Gast11022013

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Okay, 2.) habe ich raus.

20.05.2011, 22:08

Gast11022013

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Kann es sein, dass man bei 1.) den Laplace-Operator KOMPONENTENWEISE anwenden muss, das ist nämlich der einzige Weg der m.E. irgendwie zum Weg führt---

21.05.2011, 01:15

Karhunen

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Hm, wenn du viel Glück hast, antwortet dir noch ein Physiker oder ein Maschinenbauer, die können erfahrungsgemäß besser rechnen als wir Mathematiker Augenzwinkern

So wie du die Subtraktion aufgeschrieben hast, geht es natürlich nicht. Aber das ist auch genau die Variante, die ich als richtig erachtet hätte. Demnach sollte wohl ein schlauer Mensch uns aufklären und erklären, was der Laplace-Operator eigentlich macht.

Ich bin jedenfalls raus.

21.05.2011, 04:07

blutorange6

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Zitat:

Original von Karhunen
uns aufklären und erklären, was der Laplace-Operator eigentlich macht.

Der Laplace auf ein beliebiges Feld A ist nichts weiter als $\begin{eqnarray*} \Delta \mathfrak{A} = \vec\nabla \cdot (\vec\nabla \cdot \mathfrak{A}) \end{eqnarray*}$

Wenn A nun ein Skalarfeld ist, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \Delta A = c\nabla \cdot (\vec\nabla \cdot A) = (\vec\nabla \cdot \vec\nabla) \cdot A = (\frac{\partial^2}{\partial^2 x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}) A = (\frac{\partial^2 A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial z^2}) \end{eqnarray*}$

Und wenn A ein Vektorfeld ist:

$\begin{eqnarray*} \Delta A = \vec\nabla \cdot (\vec\nabla \otimes \vec A) = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x} & \frac{\partial A_y}{\partial x} & \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_x}{\partial y} & \frac{\partial A_y}{\partial y} & \frac{\partial A_z}{\partial y} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} & \frac{\partial A_y}{\partial z} & \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{pmatrix} = (\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix}^T \begin{vmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x} & \frac{\partial A_y}{\partial x} & \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_x}{\partial y} & \frac{\partial A_y}{\partial y} & \frac{\partial A_z}{\partial y} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} & \frac{\partial A_y}{\partial z} & \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{vmatrix})^T = (\begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x} & \frac{\partial A_y}{\partial x} & \frac{\partial A_z}{\partial x} \\ \frac{\partial A_x}{\partial y} & \frac{\partial A_y}{\partial y} & \frac{\partial A_z}{\partial y} \\ \frac{\partial A_x}{\partial z} & \frac{\partial A_y}{\partial z} & \frac{\partial A_z}{\partial z} \end{vmatrix})^T = (\begin{vmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x^2}+\frac{\partial A_x}{\partial y^2}+\frac{\partial A_x}{\partial z^2} & \frac{\partial A_y}{\partial x^2}+\frac{\partial A_y}{\partial y^2}+\frac{\partial A_y}{\partial z^2} & \frac{\partial A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial A_z}{\partial y^2}+\frac{\partial A_z}{\partial z^2} \end{vmatrix})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x^2}+\frac{\partial A_x}{\partial y^2}+\frac{\partial A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial A_y}{\partial x^2}+\frac{\partial A_y}{\partial y^2}+\frac{\partial A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial A_z}{\partial y^2}+\frac{\partial A_z}{\partial z^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oder schneller:
$\begin{eqnarray*} \Delta A =\vec\nabla \cdot (\vec\nabla \otimes \vec A) = (\vec\nabla\cdot\vec\nabla)\vec A = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z^2})\begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial A_x}{\partial x^2}+\frac{\partial A_x}{\partial y^2}+\frac{\partial A_x}{\partial z^2} \\ \frac{\partial A_y}{\partial x^2}+\frac{\partial A_y}{\partial y^2}+\frac{\partial A_y}{\partial z^2} \\ \frac{\partial A_z}{\partial x^2}+\frac{\partial A_z}{\partial y^2}+\frac{\partial A_z}{\partial z^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.05.2011, 11:17

Gast11022013

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Dankeschön für die große Mühe.

Dann müsste ich es richtig gemacht haben.

Ich hatte es so genannt, dass man den Laplaceoperator quasi "komponentenweise" anwendet bei einem Vektorfeld; das müsste sich decken mit dem, was Du aufgeschrieben hast.

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