Volumen einer Pyramide

20.05.2011, 14:02	CHEST	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumen einer Pyramide Hallo Leute! Ich befinde mich im Moment in der Vorbereitung fürs mündliche Abi und bin gerade auf eine alte Aufgabe gestoßen, wo ich nicht mehr so richtig weiß wie ich die rechnen soll, bzw. ich nicht weiß ob mein Ansatz richtig ist. Wäre schön wenn ihr mir mal eine Rückmeldung geben könnt. Die Aufgabe hatte uns unser Lehrer gestellt. Gegeben sind die Punkte A(1\|2\|3), B(6\|3\|4), C(2\|7\|1) und D(5\|4\|8). Die Punkte ABC bilden eine Ebene. Zusammen mit D wird eine Pyramide gebildet (D als Spitze). Jetzt muss ich das Volumen bestimmen. Meine Ansätze: Als erstes habe ich die Parameterform der Ebene aufgestellt: $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 5 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ danach habe ich übers Kreuzprodukt den n-Vektor gebildet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, fürs Volumen gilt ja: 1/3Grundfläche*Höhe Die Grundfläche ist doch Betrag des n-Vektors geteilt durch 2. Das wären dann 13,66. Und die Höhe ist doch n-vektor bis zum Punkt D, right? dh. muss nur noch den Abstand von D zur Ebene berechnen für die Höhe... oder?
20.05.2011, 15:28	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Volumen einer Pyradmide Soweit richtig gerechnet. Hast aber noch nicht genau gesagt, wie Du die Höhe bestimmst. Aber mach mal und zeige dann das Ergebnis. Wir können danach eine andere Möglichkeit besprechen.
20.05.2011, 15:38	CHEST	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bilde jetzt eine Gerade, die von der Ebene aus hin zum Punkt D geht. (Punkt D als Stützvektor; n-vektor als Richtungsvektor) $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -7 \\ 11 \\ 24 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun gehe ich weiter vor, wie als würde ich den SP ausrechnen und setze beide gleich, bzw. als erstes habe ich die ebene in Koordinatenform umgewandelt und nun setze ich für x,y,z die koordinaten aus der Gerade ein. -> t ausrechnen. t= -114/746 Nun rechne ich t die Länge des n-Vektors - und dann habe ich die Höhe. V=1/313,664,17 V= 19 Stimmt das so? Welche andere Möglichkeit gibts denn noch? Weil ich glaube meine ist sehr umständlich ...
20.05.2011, 15:46	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob der Parameter t stimmt, aber er müßte richtig sein, weil ich die Höhe und das Volumen gleich habe. Daher passt das schon so. Nachdem Du das Vektorprodukt kennst, kennst Du vielleicht auch das Spatprodukt? Das wäre hier ideal, weil vier Punkte gegeben sind, die den Körper bilden. Du berechnest z. B. von Punkt D die Vektoren zu den drei übrigen Punkten. Zwei Vektoren verknüpfst Du mit dem Vektorprodukt, dieses Ergebnis verbindest Du dann per Skalarprodukt mit dem dritten Vektor. Das Ergebnis ist das Sechsfache des Volumens Deiner Pyramide. Edit: war unklar formuliert.
20.05.2011, 20:03	CHEST	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten das mal angerissen, aber nur ganz kurz... Hab gerade mal nachgeschaut und habs gefunden, $\begin{eqnarray} V_{3-eckige-Pyramide} = \|\frac{1}{3}\frac{1}{2}[\vec{a}\times \vec{b} ]\vec{c} \|<br /> <br /> --><br /> <br /> V_{3-eckige-Pyramide} = \|\frac{1}{6}[\vec{a}\times \vec{b} ]\vec{c} \| \end{eqnarray}$ wozu ich noch aufgeschrieben habe, dass a*b gleich den n-vektor ergibt...
20.05.2011, 21:23	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Dann meine ich bist Du bei solchen Aufgaben sattelfest. Kannst natürlich noch weiterfragen.
Anzeige

20.05.2011, 23:33	Lucas	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhe des Tetraeders Hallo CHEST, Hier ist zwar jetzt schon alles gelöst und ob du nochmal rein schaust weiß ich auch nicht, trotzdem hier noch ein Beitrag zu deiner abschließenden Frage "... welche andere Möglichkeit gibts denn noch? Geht es noch einfacher?". Ja, es geht: Die Höhe läßt sich leicht berechnen, wenn du eine der 3 Kanten - beispielsweise der Vektor DA auf deinen Normalenvektor projizierst: Normalprojektion von DA auf n. Der Betrag ist die Höhe deines Tetraeders. Lucas

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »