Additionstheorem der Normalverteilung

20.05.2011, 15:03	tikvica	Auf diesen Beitrag antworten »
Additionstheorem der Normalverteilung Meine Frage: Also das Additionstheorem der Normalverteilung besagt ja, dass wenn wir : X ~ N(m,t^2) Y ~ N(m`, t`^2) X,Y unabhängig, dann gilt: X+Y ~ (m + m`, t^2 + t`^2) Meine Ideen: Soo wie beweist man das nun? ich habe keine idee um erlich zu sein...in der def der normalverteilung steht die formel für die dichte.. hat die gewisse eigenschaften so dass ich dann die dichten der zwei NV iwie zusammenaideren kann?
20.05.2011, 15:41	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dichte der Summe zweier unabhängiger, stetig verteilter Zufallsgrößen ist gleich der Faltung der beiden Ausgangsdichten, in Formeln: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\cdot f_Y(t-x) ~ \dd x \end{eqnarray}$
20.05.2011, 16:20	tikvica	Auf diesen Beitrag antworten »
ok.. und wie soll mir das weiterhelfen?
20.05.2011, 16:59	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsetzen und anschließend vereinfachen! Sofern du dich mit charakteristischen Funktionen auskennst, kannst du natürlich auch darüber gehen - bei entsprechenden Vorkenntnissen auf diesem Gebiet ist der Weg etwas kürzer als der obige.
20.05.2011, 19:56	tikvica	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mich vllt kurz die ersten par schritte zeigen und ich versuche dann mein glück???
21.05.2011, 19:17	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerade der Anfang ist doch einfach, musst ja nur die Dichten raussuchen und einsetzen - ist ein schlechtes Zeichen, dass du nicht mal das selbst machen willst. Na gut, obwohl ich jetzt schon ein ganz, ganz schlechtes Gefühl für den weiteren Verlauf des Threads habe, hier der Start: $\begin{eqnarray} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray}$ besitzt die Dichte $\begin{eqnarray} f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma} \cdot \exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \end{eqnarray}$ , entsprechend dann $\begin{eqnarray} Y\sim \mathcal{N}(\mu',\sigma'^2) \end{eqnarray}$ die Dichte $\begin{eqnarray} f_Y(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma'} \cdot \exp\left( -\frac{(x-\mu')^2}{2\sigma'^2} \right) \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\cdot f_Y(t-x) ~ \dd x \end{eqnarray}$ bedeutet das $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(t) = \frac{1}{2\pi~\sigma\sigma'}\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty}\exp\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right) \cdot \exp\left( -\frac{(t-x-\mu')^2}{2\sigma'^2} \right) ~ \dd x \end{eqnarray}$ Durch Zusammenfassung des Integranden gemäß Potenzgesetzen, quadratischer Ergänzung bzgl. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ innerhalb der Exponentialfunktion lässt sich dann das Integral auswerten, hilfreich ist dabei die Gültigkeit von $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left( - \frac{(x-\tilde{\mu})^2}{2\tilde{\sigma}^2} \right) ~ \dd x = \sqrt{2\pi}~ \tilde{\sigma} \qquad () \end{eqnarray}$ mit geeignet gewählten Werten $\begin{eqnarray} \tilde{\mu},\tilde{\sigma} \end{eqnarray}$ . Gleichung () ergibt sich übrigens aus der Gesamtwahrscheinlichkeit 1 der Normalverteilung $\begin{eqnarray} Y\sim \mathcal{N}(\tilde{\mu},\tilde{\sigma}^2) \end{eqnarray}$ .
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